“數學廣角”是人教版教材伴隨著課程改革而新增設的一個內容模塊，是傳統數學教學少有涉獵的領域。對于如何把握“數學廣角”的教學本質、如何有效實踐“數學廣角”的教學，不少教師對此進行了有益探索。本期特刊登了相關文章，供大家學習討論。

“數學廣角”是人教版課標教材伴隨著課程改革而新增設的一個內容模塊，是傳統數學教學少有涉獵的領域。教材以學生熟悉而又感興趣的生活情境為依托，通過典型的數學問題向學生滲透數學的思想與方法，將學習置于活動的情境中，給學生提供操作和探究的機會，培養學生有序地、全面地思考問題的意識，發展學生的抽象概括和推理能力，為學生的進一步學習奠定基礎。

把握“數學廣角”教學本質需要關注兩個關鍵詞：一是“數學”，二是“廣角”。從數學角度來講，數學廣角呈現的是數學四個領域之外的問題。比如排列和組合問題、植樹問題等，也就是生活中怎么用數學思想方法來解決問題，它是教材在向學生滲透數學思想方法方面做出的新的嘗試。另外，“廣角”表示為視角大、視野寬闊，從某一視點觀察到的景物范圍要比人眼在同一視點所看到的大得多。它用日常生活中最簡單的事例呈現了數學應用的廣泛性和多樣性，讓學生感悟數學的博大和價值。可見，數學廣角主要在于拓展數學視野，提高學生的數學學習興趣，積累數學活動經驗，促進學生學習能力的發展。

由于“數學廣角”的一些內容與“奧數”的內容頗為相同，于是許多教師在未吃透教材編寫意圖背景下將“數學廣角”等同于“奧數”興趣小組教學的要求與方式。這樣既不能體現數學廣角的教學價值，又加重了學生的學習負擔。那么如何有效實踐“數學廣角”的教學呢？我們從數學廣角的價值把握、數學廣角的目標定位、數學廣角的實踐探索等方面加以思考。

一、數學廣角的價值把握

人教版教材希望通過“數學廣角”的教學，使學生接觸到最為基本的數學思想和方法，獲得探索數學知識、解決問題的基本方法，提升學生的數學能力。其教學價值主要表現為以下幾方面。

（一）有機滲透數學思想與方法

數學思想方法的滲透是《數學課程標準（2011年版）》提出的新要求，從“雙基”到“四基” ，突顯了數學教育的核心價值，其中“數學的基本思想”和“基本活動經驗”可以說是數學教學的靈魂。教材選取了“找規律、排列組合、雞兔同籠”等數學問題，能使學生很好地體會到觀察、枚舉等歸納推理的方法；選擇“邏輯推理、抽屜原理”等內容主要是讓學生學習簡單的演繹推理的方法，培養學生的演繹推理能力；植樹問題既體現了“特殊—一般”的歸納推理思想，又體現了“一般—特殊”的演繹推理思想，同時還滲透了數學建模的思想。這些作為“數學廣角”的內容載體，很好地滲透了數學思想與方法，培養了學生的數學思維能力，同時使他們逐步形成探索數學問題的興趣與欲望，發現、欣賞數學美的意識和能力。

（二）突顯過程與方法的教學價值

《課程標準（2011年版）》指出：課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系。對于數學廣角內容的教學，更應體現過程與方法的教學價值；需要為學生設計一些生動、有趣的數學活動，在活動中展開觀察、操作、實驗、猜測、推理與驗證，充分感受數學思想方法的奇妙與作用。例如，在植樹問題的教學中，為了讓學生經歷發現規律、建立模型的過程，教學中要突出呈現學生怎樣在實際操作的基礎上抽象出線段圖，借助實際操作的經驗和線段圖的直觀支撐，幫助學生更好地探索和發現植樹問題中蘊含的規律。因此，走出三種情形下的植樹問題的公式教學，用最直觀的圖示方法解決類似的問題。學生在今后遇到新的問題時，也會主動嘗試運用這種方法去解決，突顯了過程與方法的學習價值。

二、數學廣角的目標定位

“數學廣角”試圖把重要的數學思想和方法通過日常生活中簡單的問題情境呈現出來，并在數學活動中激發學生探索問題的興趣和解決問題的意識，發展數學思維能力，感悟數學思想方法，獲得活動經驗。

（一）注重數學思考，落實課程目標

與其他的數學教學內容一樣，通過“數學廣角”教學要實現知識技能、數學思考、解決問題、情感與態度四個目標。當然，這四個目標應該是同時兼顧的。顯然，數學廣角教學的關鍵是學會數學地思考，這是數學教學的重要目標。讓學生在參與觀察、實驗、猜想、證明、運用等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。在學會獨立思考過程中，體會數學的基本思想和思維方式。

數學思考就是在面臨各種問題情境中，能夠從數學的角度去發現問題、提出問題、分析問題，發現其中存在的數學元素，并運用數學的知識與方法去解決問題。其核心是：敢于想問題，用數學的思想方法想問題。應當說數學思考主要的就是數學思維活動，這里，讓學生學會有條理的表達非常重要；當然不僅是思維訓練，還有發現數學、應用數學的意識和能力。例如，在雞兔同籠問題的教學中，教材重點突出嘗試的策略，同時呈現出學生在嘗試過程中不斷調整思路、逐步發現一般規律的思考活動。

（二）立足數學思想，合理定位目標

從教學目標的把握來看，數學廣角的教學首先應定位于通過數學活動讓學生感受數學的思想方法。立足于思想方法的目標定位，必然要求教師要充分地挖掘和理解教材中所體現的數學思想方法，在教學時注重讓學生通過觀察、比較、分析，感悟數學思想方法的魅力，學會運用數學思想方法嘗試解決問題，體驗解決問題的策略、方法。例如，有位教師上“找次品”時，就先直接告訴學生“先將要找的產品分成3堆，而且要盡可能地平均分。3個稱一次，9個稱2次，27個稱3次……”這種避開活動過程去繁就簡的做法，如同蜻蜓點水般淺嘗輒止。學生不清楚為什么要這樣分，既沒有經歷過程，也沒有活動體驗，更無法讓學生感悟數學的思想方法。這種舍本逐末的做法顯然不可取。教學一定要讓學生來想、來感悟，讓他們學會如何從頭想問題，如何邏輯地想問題。

“數學廣角”很多內容屬于新增范圍，知識背景比較豐富。教師對這些內容的教學容易走極端，或者拓展得太深，學生接受不了，或者講述不到位沒能達到滲透數學思想方法的目標。這里就要涉及對教學內容的處理問題：到底是“窄而深”還是“廣而淺”？其核心是什么？因此，在“數學廣角”教學中，應該更多地思考基于思想方法的教學目標是否實現、應該如何實現，這就需要有效開展數學廣角內容的教學探索。

三、數學廣角的實踐探索

“數學廣角”教學面向的是全體學生，注重的是數學思想方法的滲透，通過有效的活動情境，引導學生主動學習、探索、思考、發現，積累活動經驗，提高數學素養。這是教師在實踐中要把握的一個教學基本點。同時，“數學思想方法是自然而平和的，我們不能把活生生的數學思考變成一堆符號讓學生去死記，以至讓美麗的數學淹沒在形式化的海洋里。”（張奠宙）為此，教師在數學廣角的教學中要處理好過程與結果、直觀與抽象、面向全體與關注差異的關系，讓數學教學更為有效，讓數學廣角突顯它應有的價值。

（一）整體梳理，有效研讀教材

數學廣角雖然在每一冊教材中都獨立存在（如表1），但是仔細分析還是存在著必然的聯系。如二上和三上的“排列組合”問題，教學中要仔細分析知識點所蘊含的要求，教學中不能越位也不囿于表層；同時要關注它們之間的聯系和區別，教學中要善于抓住它們的區別處，把握目標定位和要求，抓住這些聯系點展開有效教學。

表1

一年級二年級三年級四年級五年級六年級

上冊分類簡單排列組合

邏輯推理排列組合烙餅問題

排隊論

田忌賽馬數字編碼雞兔同籠

問題

下冊找規律找規律重疊問題

等量代換植樹問題找次品抽屜原理

自《數學課程標準（2011年版）》頒布后，人教版教材進行了一系列的調整。其中，對數學廣角的內容也進行了修訂（見表2）。

表2

一年級二年級三年級四年級五年級六年級

上冊找規律滲透排列組合1集合優化問題植樹問題數形結合

下冊找規律邏輯推理排列組合2雞兔同籠找次品抽屜原理

這樣的調整，一方面是基于十余年課程改革實踐的經驗，另一方面充分考慮了小學生思維發展的規律和學生的實際水平，教材對數學廣角的教學內容和順序進行了必要的調整，例如：雞兔同籠問題教學的主要目的是讓學生經歷嘗試探究的過程與方法，滲透歸納推理思想，而這些對于六年級學生來說，挑戰性不足，因而由六年級前移到四年級；植樹問題對于四年級學生的抽象思維能力要求較高，對模型的建構五年級學生更勝一籌；而數字編碼數學思想不是很明顯，倒是研究性活動開展優勢明顯，于是調整為綜合與實踐領域內容等。這樣的調整更為科學，也符合學生的認知規律，更能體現數學廣角的學習價值。

對比實驗版課標教材與2011年版課標教材的內容編排，有兩點值得反思：

一是對找規律內容的編排序列有所減弱，刪除了二年級循環規律的教學安排。筆者認為，應加強找規律內容的教學編排。一方面課標特別強調數學規律的探索，在數與代數領域的課程內容中專門有探索規律的要求，通過數學廣角加強對規律研究的數學化思考，拓展規律探究活動的延續性和發展性。如二年級下冊探索循環規律過程中，進一步讓學生思考：如果繼續排下去，接下去的圖案會是怎樣的排列？與上面的哪一組相同？再排一組又與第幾組的圖案相同？如果我們把這四組圖案稱為“一大塊”，那么第2大塊的第3組的圖案是怎樣排列的？第5大塊的第2組又是怎樣的？第50大塊的第3組的圖案是怎樣排列的？這一過程的設計，在平常教學活動中是教師所欠缺的。他們往往只是表面（四組）規律的發現，好似美術或手工勞動課中的圖形的排列規律，缺少數學味。現在的設計突出體現了數學學科特點，呈現了數學思考規律的探索運用過程。

二是對植樹問題后續的點陣問題的處理不夠慎重，新的修改意見是拓展了植樹問題的三種模型，刪除了點陣問題的內容，只安排在練習中呈現。其實，深入分析可以發現，兩個內容之間都有數形結合解決問題的思想方法（詳見課例：借助幾何直觀 凸顯意義建構——“點陣問題”教學實踐與設計意圖），2011年版課標教材以練習的形式呈現，不利于教師的教學把握，也不能很好地體現幾何直觀的思想。特級教師汪培新認為這種“圖形建模”的方式對學生的進一步學習發揮著積極的作用。筆者認為，這一內容還是能很好地呈現一定的數學思想方法，應予以保留和發展。

（二）把握核心，有效設計活動

數學廣角的核心表現為兩方面，一是“數學”的核心，滲透數學思想方法，突顯數學味；二是“廣角”的核心，拓展數學的價值，關注全體學生的學習感悟。

數學廣角從數學角度講，它所蘊含的教學核心是滲透數學思想和方法，同時體現數學的本質和味道。如有教師在教學一年級下冊“找規律”一課時，出示情境圖讓學生找規律，然后通過涂一涂、畫一畫、貼一貼來感知創造的規律。接下來，采用仿照音樂打節奏的方式體驗規律，課堂很熱鬧，變成了節奏的海洋。看起來，前半節課像“美術課”或者“手工勞動課”，后半節課就成了“音樂課”，整堂課缺少數學味！面對“找規律”這樣的教學內容，教師該如何體現數學味呢？關鍵是讓學生實踐數學化思考。這就需要教師在設計活動時考慮讓學生經歷數學化的過程，如學生在觀察會場布置時一些物體的排列特點：

師：氣球有規律你是怎樣看出來的？

生：它總是2個藍、1個黃重復出現，所以我覺得它是有規律的。

師：重復兩個字用得很好。誰還愿意說？

生：氣球是2個藍色、1個黃色重復出現的。

師：接下去應該怎樣掛？

師：說一說，它是以幾個為一組，怎樣的顏色重復出現？

師：噢！原來它是以2個藍、1個黃為一組出現的，每一組的第一個、第二個、第三個分別是什么顏色呢？

師：現在老師要掛第五組氣球，你知道第五組的第一個氣球是什么顏色？第十組的第二個氣球是什么顏色？

師：你是怎么知道的？（每組都相同，就看第一組）

師：這個會場很大，假如老師掛了100組這樣的氣球，再猜一猜，第40組的第二個是什么顏色的？第100組的第三個是什么顏色的？

數學課區別于其他學科的顯著特征之一便是嚴謹的邏輯思維，包括觀察、分類、抽象、概括等思維環節，以及在各環節中由類比、遷移等思維品質帶來的直覺思維。這一環節，在結構中體現了這些思維特征。教師通過讓學生觀察發現規律，通過交流表達提煉（敘述）規律，通過推理想象運用規律，也使得該堂課有了濃濃的數學味。

作為數學廣角的“廣角”，它所具有的含義是拓展數學價值，使這一內容的教學更有普適性，并關注全體學生的學習感悟；讓學生通過觀察、操作、實驗、猜測、推理等活動，初步感受數學的思想方法，逐步形成有序思考問題的意識和方法。如植樹問題教學中，通過數形結合的思想方法，讓學生適時提煉解決問題的策略，然后將這一思想和方法（策略）應用到安裝路燈、上下樓梯、掛燈籠、排隊、鋸木頭、敲鐘等問題中，做到觸類旁通、舉一反三。讓學生進一步感悟學習的價值和方法的優越性，提高對數學學習的興趣。

在設計活動時教師要思考問題的設計是否有利于活動的展開，是否有利于學生的數學思考，是否促進了學生的思維發展。如果你能關注這些問題的實踐探索，你也就認清了數學廣角的教學本質。

“數學廣角”內容的教學實踐，給傳統數學提供了更為豐富的教學思考。它注重問題情境的創設，為學生提供積極思考、充分參與數學活動的時間和空間，使學生有更多的機會去親歷探索、操作發現、交流和分享，從中獲得數學思想方法的感悟，讓學生的數學能力得到發展，進而促進學生數學素養的提升。

（浙江省寧波市海曙區教育局教研室 315010）