課堂教學回歸“數學化”的討論和分析——以高中“數學歸納法”的教學為例

馬茂年，俞 昕

（1.浙江省杭州市第十四中學，浙江 杭州 310006；2.浙江省湖州市第二中學，浙江 湖州 313000）

1 前 言

浙江省杭州市舉行了高中數學青年教師優質課評比，比賽的課題是“數學歸納法”第一課時，來自不同學校的8位教師各自做了精心的準備，向大家展示了他們個人和集體智慧的結晶.研究者懷著學習的心態全程觀摩了這8節課，這8節課有很多精彩之處，有很多地方值得學習.研究者想針對其中的一個共同現象談談對數學課堂教學的感想.這8節課中的7節課都充斥著視頻資料，有的播放“烽火戲諸侯”的電視情節、有的播放好萊塢大片“盜夢空間”的片段、有的播放電影“指環王”的片段、有的播放“從前有座山，山里有座廟……”的歌曲音頻、有的播放近期“禽流感”的新聞視頻等，課堂瞬間演變成一場饕餮的視覺與聽覺大餐，研究者不禁思考：數學教學真的需要這些視覺與聽覺盛宴嗎？首先，要承認這些視覺與聽覺大餐的一個用途：那就是吊足學生的胃口，引起學生感官的刺激，激發學生學習數學的興趣.但不應該讓這些大餐的用途僅僅限于此，數學課的樂趣應該真正體現與反映在數學理性思維、數學思維火花的沖擊與碰撞，讓學生真正享受一場數學思想的洗禮與盛宴.

從數學歸納法的發現、發展到應用，從數學歸納法的理論基礎到實際教學，從數學歸納法的邏輯基礎到學生學習數學歸納法時遇到的心理問題等，都是教師需要了解清楚的.事實上，教師只有清楚地了解每一個知識點的來龍去脈，了解一個知識點的應用范圍，了解每一個知識點的所以然，才能更好地講授數學歸納法.若是教師自身的功課做得不足，那么所教授的學生也只能掌握數學歸納法的“形”，而未能掌握其“神”，應追求的是“形神具備”[1].

2 對“數學歸納法”教學的分析

研究者觀摩的8節數學歸納法起始課中，大部分的執教教師都著力于為學生營造一種輕松、形象的學習氛圍，讓學生在觀看各種視頻材料，包括多米諾骨牌，甚至是比較幽默的“人體骨牌”視頻材料的基礎上，讓學生形象地理解數學歸納法的原理與基本步驟.有些課堂上確實也營造了學生輕松學習數學的氛圍，學生學習的興趣也濃厚，確實達到了公開課的效果，但通過課后學生的訪談發現，學生對數學歸納法的本質仍然模糊不清.數學歸納法的發生教學，是探尋一種能“自動遞推，無窮驗證”的方法的過程，是重要的數學思想，不能弱化.要力求讓學生在提起學習數學歸納法興趣的基礎上，也能深刻理解數學歸納法的來龍去脈與數學化本質[2].

2.1 用足“多米諾骨牌”的經典實例

多米諾骨牌確實是一個經典的教學實例，很多專家與一線教師在反復探討之后，仍然覺得其它實例都無法代替多米諾骨牌這個經典實例.由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推倒第一塊骨牌，第二塊就會自己倒下，接著第三塊就會倒下，第四塊也會倒下，……，如此傳遞下去，所有的骨牌都會倒下.通過師生的共同討論得出結論：（1）第一塊要倒下；（2）當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下.把這兩個條件遷移到具體的數學問題中，引出數學歸納法證題的步驟.最后讓學生套用這個模式解題.雖然多米諾骨牌這個例子學生確實比較容易理解，但無論你如何解釋，這只是對數學歸納法思想的一個直觀認識，它決不能替代其豐富的理性內涵.但事實上，若學生缺乏思考就很難在頭腦中形成一個有效的認知結構，于是學生對它的掌握僅僅停留在被稱作“表象”的水平上，即沒有真正掌握.

如何才能用足“多米諾骨牌”這個經典實例？這是值得探索的.在這8節中有一節課讓研究者覺得可以在這方面作出一點探討.

教師（拿出一本舊的教材）：老的數學教材《代數》的封面上有一個等式12+22+32+…+n2=?（n+1）（2n+1），其中有一處由于年代久遠，已經銹跡斑斑，看不清楚了.大家猜猜，這里應該填上什么內容？

通過學生的猜想，得出結論

教師：這個是研究者猜測的，但到底對不對呢？下面首先進行探究1：“人工探索”，讓學生通過具體的數字進行逐一驗證.探究收獲：前后兩個等式在計算時，存在一定的關系，即若記

則

在計算f（k+1）時，若調用f（k）的結果，會大大減少運算量.探究2：“智能操控”.用程序框圖表示如圖1.

圖1 程序框圖

探究收獲：等式在n取相鄰值時的真假性具有“遞推”性，即在

的條件下，必有

成立.然后引導學生思考：證明

最大的障礙是什么？主要是處理“無限”的問題.順勢引導學生得到數學歸納法的一般步驟.此時是聯結“多米諾骨牌”的最佳時機，在此教師可以讓學生探究“多米諾骨牌”與剛才運用“數學歸納法”證明有何相似性？可以運用“類比”的思想將“多米諾骨牌”與“數學歸納法”對應起來，從而通過直觀加深學生對數學歸納法證明的理解，實現“數學化”理性思考與感性認識的結合.類比的過程也可以嘗試通過諸如以下的問題實現：數列{an}滿足an=2an?1?1，猜想數列{an}的通項公式，并運用數學歸納法加以證明.

通過將多米諾骨牌與運用數學歸納法證明一些具體的與正整數有關命題的過程的對照，最終得到多米諾骨牌與數學歸納法證明一般過程的類比表格.

多米諾骨牌的主要作用是將數學歸納法的操作過程形象化，有助于學生掌握數學歸納法的證題過程，這是一種形象化的處理，雖然是形象化處理，但也要確實有助于學生的數學化思考，所以應該有效地用足多米諾骨牌的經典實例，而不是僅僅放放動畫、視頻等，讓課堂熱鬧熱鬧就了事了.

2.2 著力于“歸納假設”難點的教學

教師通過各種方式展示多米諾骨牌游戲的過程，包括視頻等，主要目的不應該僅僅停留在讓學生欣賞與驚嘆于多米諾骨牌的神奇，而應該讓學生深刻理解多米諾骨牌全部倒下的條件.條件1：第一塊骨牌倒下，學生是比較容易理解的；而條件2：若第k塊骨牌倒下，則第k+1塊骨牌也倒下，對于這個條件學生理解其實是比較困難的，而很多教師在處理這個問題時不是一筆帶過就是輕描淡寫，在8位教師中沒有一位教師敢于向學生提問或者是解釋：為什么在數學歸納法的第二步的證明中要用“假設”兩字？從課后的教師訪談環節中發現，不是教師們沒有考慮到這個問題，而是教師們都回避觸及這個問題，因為一旦這一問題拋出，有可能學生的回答脫離教師的預設，使得教師無法掌握學生放任的思維，另一方面，教師認為自己對這一問題也無法進行清晰的解釋，從而影響公開課的正常進度，進而影響優質課評選的結果.但教師們都忽略最重要的一點：這一知識點正是這節課最重要的難點之一，在數學歸納法起始課的教學中，教師是應該讓學生弄清楚搞明白的，否則，學生只是掌握了數學歸納法的“形”，而沒有真正掌握數學歸納法的“神”.

其實教師完全可以在“數學歸納法”證明第二步的講解中向學生揭示數學歸納法的精髓，第二步是一種歸納遞推，運用數學歸納法證題時必須分成兩個步驟，也就是看所給命題是否分別符合條件（l）和條件（2），這里（l）和（2）是互相獨立的兩個條件.（l）只是斷言P（1）為真，（2）實質上是一個命題，即如果P（k）真，則有P（k+1）真.“如果有P（k），則一定有P（k+1）”這種關系中，至于是不是真的有P（k），則在此命題中并未被斷定.這就好像命題“如果1＞2，那么4＞5”這是真命題，因為盡管1＜2，但如果有1＞2，則由不等式的性質有1+3＞2+3，即4＞5.至此，學生就會明白（2）中的命題“P（k）→P（k+1）”實質上斷定的是一種關系，而不是對P（k）的斷定.如果更形象一點說，（2）所斷言的是有了一臺功能特殊的“遞推機”，該遞推機的功能是：只要把原料P（k）遞進去，那么該機便能輸出P（k+1）這個產品.當然，有了遞推機并不能保證一定有原料.現在就可結合條件（1）來看數學歸納法.條件（1）斷言了P（1）為真，而條件（2）就是一臺遞推機，這樣將P（1）作為初次原料送進遞推機，根據遞推機的功能，它立即輸出P（2），有了P（2）就可以再把它作為原料送入遞推機，于是就有了P（3），如此重復地運用遞推機，就可相應地得到P（4），P（5），…這樣就看清楚了數學歸納法的“遞推機”在有初始原料P（1）的情況下的“工作”原理，這里實質上也就是數學歸納法為什么能作為一個嚴密的證題方法的邏輯原理.因此應該讓學生清楚：數學歸納法是一種演繹推理，是典型的三段論，而這種演繹推理又是為了歸納.數學歸納法與一般歸納法的根本區別在于，數學歸納法具有明確的論證意識，通過應用歸納步驟和傳遞步驟來確保論證的嚴密性和正確性.

如果因為教師自身感到某個數學思想不自然，所以就放棄對它的詮釋，那就放棄了一次讓學生真正體驗“數學化”思想的歷程，學生也就失去了一次數學理性思維提升的過程.教師應該展示數學歸納法的形成過程，在數學課堂上讓數學歸納法的原理水到渠成.在教學過程中讓學生學到的不僅僅是形式和抽象的理論，而是讓數學歸納法的思想真正走入學生的內心世界[3].

2.3 注重類比啟發探究式的教學方法

作為經典的類比啟發探究式教學法，如何在數學歸納法教學中發揮作用，其中幾位老師的教學過程歸納如下，值得借鑒.

2.3.1 輸入階段——創造學習情境 提供學習內容

教學片段1：創設問題情境，啟動學生思維

（1）不完全歸納法引例.

明朝劉元卿編的《應諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學寫字.這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結論顯然是錯誤的.

（2）完全歸納法對比引例.

有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些.他給每人一筐花生去剝皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包著，看誰先給出答案.大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生.顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明.

在生活和生產實際中，歸納法也有廣泛應用.例如氣象工作者、水文工作者依據積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法.這些歸納法卻不能用完全歸納法.

教學片段2：回顧數學舊知，追溯歸納意識

（從生活走向數學，與學生一起回顧以前學過的數學知識，進一步體會歸納意識，同時讓學生感受到以前的學習中其實早已接觸過歸納.）

（1）不完全歸納法實例：給出等差數列前4項，寫出該數列的通項公式.

（2）完全歸納法實例：證明圓周角定理分圓心在圓周角內部、外部及一邊上3種情況.

教學片段3：借助數學史料，促使學生思辨

（在生活引例與學過的數學知識的基礎上，再引導學生看數學史料，能夠讓學生多方位、多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性.同時引導學生進行思辨：在數學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結論，不管是研究者還是數學大家都可能如此.那么，有沒有更好的歸納法呢？）

問題1 已知＝(n2?5n+5)2（n∈N），

（1）分別求a1，a2，a3，a4.

（2）由此你能得到一個什么結論？這個結論正確嗎？

（培養學生大膽猜想的意識和數學概括能力.概括能力是思維能力的核心.魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的.心理學認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數學原理的遷移，所找的突破口就是學生的概括過程.）

問題2 費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數學家，他曾認為，當n∈N時，22n+1一定都是質數，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的.后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了225+1＝4 294 967 297＝6 700 417×641，從而否定了費馬的推測.沒想到當n＝5這一結論便不成立.

問題3f(n)=n2+n+41，當n∈N時，f(n)是否都為質數？

驗證：f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，f(10)=151，…，f(39)=1 601.但是f(40)=1 681=412，是合數.

2.3.2 新舊知識相互作用階段——新舊知識作用 搭建新知結構

教學片段4：搜索生活實例，激發學習興趣

（在第一階段的基礎上，由生活實例出發，與學生一起解析歸納原理，揭示遞推過程.孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗.）

實例：播放多米諾骨牌錄像

關鍵：（1）第一張牌被推倒；（2）假如某一張牌倒下，則它的后一張牌必定倒下.于是，可以下結論：多米諾骨牌會全部倒下.

搜索：再舉幾則生活事例，如推倒自行車，早操排隊對齊等.

教學片段5：類比數學問題，激起思維浪花

類比多米諾骨牌過程，證明等差數列通項公式an=a1+(n?1)d：

（1）當n＝1時等式成立；（2）假設當n＝k時等式成立，即ak=a1+(k?1)d，則ak+1=ak+d=a1+[(k+1)?1]d，即n＝k＋1時等式也成立.于是，可以下結論：等差數列的通項公式an=a1+(n?1)d對任何n∈N*都成立.

（布魯納的發現學習理論認為，“有指導的發現學習”強調知識發生發展過程.這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學生發現數學歸納法的雛形，是一種再創造的發現性學習.）

教學片段6：引導學生概括，形成科學方法

證明一個與正整數有關的命題關鍵步驟如下：

（1）證明當n取第一個值n0時結論正確；

（2）假設當n＝k（k∈N*，k≥n0）時結論正確，證明當n＝k＋1時結論也正確.

完成這兩個步驟后，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都正確.

這種證明方法叫做數學歸納法.

2.3.3 操作階段——鞏固認知結構 充實認知過程

教學片段7：蘊含猜想證明，培養研究意識

（本例要求學生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數學歸納法，也能教給學生做數學的方法，培養學生獨立研究數學問題的意識和能力.）

例題 在數列{}中，＝1，a=（n∈N*），n+1先計算a2，a3，a4的值，再推測通項an的公式，最后證明你的結論.

（2）（第64頁練習3）首項是a1，公比是q的等比數列的通項公式是=aqn?1.1

教學片段9：師生共同小結，完成概括提升

（1）本節課的中心內容是歸納法和數學歸納法；

（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性，數學歸納法屬于完全歸納法；

（3）數學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推（遞歸）思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉；

（4）本節課所涉及到的數學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想.

教學片段10：布置課后作業，鞏固延伸鋪墊

（1）課本第64頁練習第1、2題；第67頁習題2.1第2題.

（2）在數學歸納法證明的第二步中，證明n＝k＋1時命

教學片段8：基礎反饋練習，鞏固方法應用

（課本例題與等差數列通項公式的證明差不多，套用數學歸納法的證明步驟不難解答，因此把它作為練習，這樣既考慮到學生的能力水平，也不沖淡本節課的重點.練習第3題恰好是等比數列通項公式的證明，與前者是一個對比與補充.通過這兩個練習能看到學生對數學歸納法證題步驟的掌握情況.）

（1）（第63頁例1）用數學歸納法證明：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.題成立，必須要用到n＝k時命題成立這個假設.這里留一個辨析題給學生課后討論思考：

用數學歸納法證明：1+2+22+23+…+2n?1=2n?1（n∈N*）時，其中第二步采用下面的證法：

設n＝k時等式成立，即1+2+22+23+…+2k?1=2k?1，則當n＝k＋1時，

你認為上面的證明正確嗎？為什么？

上面歸納的幾位老師的教學過程中，充分運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法.目的是加強學生對教學過程的參與.為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發動、組織、引導和點撥.學生的思維參與往往是從問題開始的，本節課按照思維次序編排了一系列問題，讓學生投入到思維活動中來，把本節課的研究內容置于問題之中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展.

3 回歸“數學化”課堂教學的討論

通過以上對“數學歸納法”數學化教學的解讀與探討，針對現今某些表面熱鬧，實則缺乏數學化味道的現象，試圖喚回原汁原味的數學教學，回歸“數學化”課堂教學.

3.1 “數學化”的含義解讀

將某物轉變成某種性質或狀態的過程就是“化”，它也是一種觀念意義上的推廣和普及.人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，并加以整理組織，以發現其規律，這個過程就是“數學化”.即把數學的高度抽象性、嚴格邏輯性、語言簡明性、廣泛實用性集中用于人類進行理論思維、邏輯分析、認識客觀世界上，以達到規范系統的高度.“數學化”通過一種組織與構建的活動，運用已有的知識與技能去發現未知的規律、關系和結構.簡言之，數學地組織現實世界的過程就是數學化.基于上述數學化的思想，弗賴登塔爾提出：與其說讓學生學習數學，不如說讓學生學習數學化；與其說讓學生學習公理系統，不如說讓學生學習公理化；與其說讓學生學習形式體系，不如說讓學生學習形式化.學生數學化的過程，就是將學生的數學現實進一步提高、抽象的過程.數學化實際上還要注重數學課堂的規范[4～6].

3.1.1 數學課堂規范化的內涵

數學課堂規范是指特殊的社會群體教師和學生在教室特定環境下行為和思維的規矩和準則，反映師生在課堂上交互衍生出的、具體化的社會關系.

所謂的數學課堂規范化是指教師和學生在課堂環境下針對特定數學進行交互作用而產生的數學行為和數學思維的規則和標準.具體來說，由于教育塑造和培養的是適應社會需求的人，所以數學課堂規范一方面具備社會規范的功能，課堂須遵循成文的法律、規章制度、紀律和秩序等和不成文的約定俗成的習俗、道德和倫理規范.同時由于學生是憑借已有的生活經驗和數學現實建構數學或對數學意義的理解，那么數學學科本身的概念、法則、定理和知識體系在發展過程中約定俗成的數學規范或標準會制約著數學課堂規范的生成和發展，所以數學課堂規范兼具社會規范和數學規范的功能.正因為如此，國外的研究者稱之為社會數學課堂規范[7～9].

3.1.2 數學課堂規范化的形成

高中數學課程標準還指出，高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法制、結論的發生發展過程和本質.數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為易于接受的教育形態.這實際上說的是學生學習高中數學應該遵循什么樣的規則和達到何種標準，概念理解采取何種方式、邏輯推理應有什么要求、數學本質如何認識以及怎樣體會和把握貫穿數學的主要數學思想方法等，從而達到數學課堂規范的形成[7].

3.2 “數學化”課堂教學的回歸

數學課是需要“形象直觀”來為學生打開數學抽象之門，讓學生更容易入門，也就是所謂的“非形式化”，研究者在文[6]中詳細闡述了“非形式化”與“形式化”的有機結合.因此，過于“非形式化”與過于“形式化”一樣的危險，研究者認為數學課就應該有數學課獨特的味道，應該散發著濃厚的、原汁原味的數學味道.

3.2.1 激活數學思考 凸顯數學味

數學是思維的體操，數學思考是數學課堂當然的主角.因此，教師在課堂上如何通過點燃“發現”之火、“研究”之火、“探索”之火來激活學生進行數學思考顯得尤為重要.一個有效途徑就是通過教師提問，但很多教師的提問存在“切口太大”、“切口太小”或“與數學主題無關”等問題，這樣的問題無法有效地激起學生的數學思考.比如在“數學歸納法”教學中，有些教師在播放完視頻后，提問：“在剛才的視頻中你能說出哪些數學現象？”諸如此類的問題.教師的提問應該制造學生的認知沖突，使課堂出現了觀點的交鋒、智慧的碰撞.使課堂的熱鬧不僅僅停留于學生肢體的活動，更要體現在學生思維的活動中.讓數學課堂成為一個數學研究室，學生在此經歷了觀察、實驗、證明等數學活動過程，從而發展了合情推理能力和初步的演繹推理能力，教師善于制造認知沖突，把學生推到自主探究的前臺，使學生親身經歷“做數學”的過程，從而激發學生思考，激活數學思維[10].

3.2.2 調整學習方式 散發數學味

教學中，教師必須尊重學生的選擇，允許學生根據自身的需要選擇學習內容，為學生創設自由、民主的合作氛圍，讓不同的學生自己動手實踐、自主探索、合作交流.例如：在“數學歸納法”的教學中允許學生自己做“多米諾骨牌”的實驗，分組實驗，通過動手實驗，合作交流，觀察比較，歸納總結出骨牌全部倒下的條件，由于結果是學生自己得出的，學生掌握的知識就會比較牢固，這樣，讓學生親身經歷知識的探索過程，感受知識的來龍去脈，使學生的認識從感性提升到理性，這樣的學習方式可以讓學生體驗到數學課中的數學味[11].

3.2.3 提煉數學思想 品味數學味

數學教學內容是“數學基礎知識”、“數學方法”和“數學思想”的有機結合，其中“數學思想和方法”是數學的靈魂，被認為是構成“數學味”的核心要素.數學思想和方法在教材中大多沒有直接的文字表述，而且不成體系地散見于教材的各章節之中，或隱藏在課后的習題之中，往往被教師所忽略.因此，在課堂教學中要努力分析教材，吃透文本，盡力去挖掘知識能力背后所蘊涵的數學思想，然后把它巧妙地融入學習過程中，讓學生感悟、體會，能靜下心來品數學，通過數學的學習提高學生的思想境界和認識能力，在不知不覺中靜靜地品出數學的味道.例如“數學歸納法”的教學中，鼓勵學生運用“類比”的思想提煉出數學歸納法的步驟，讓學生從數學的角度思考問題，提煉數學思想，有效培養學生思維的深刻性，也讓學生真正品味了數學味道[12～13].

3.2.4 生活問題數學化 張揚數學味

數學源于生活，也必須根植于生活.教師在教學時要引導學生從生活實際出發來學習和掌握數學.在情境中或者練習環節中多提供聯系生活實際的素材是一種有效的方法.但現在有些公開課中使用的生活實例僅僅是為了引出課題，缺乏真正的數學味道，這是不可取的.比如在“數學歸納法”的教學中，有些教師使用了“禽流感”實例，但僅僅停留在引課階段，引出課題后就棄而不用了，其實還可以繼續以“禽流感”作為載體，深入挖掘其中隱含的數學問題，讓從生活問題抽象出數學問題使數學課堂飄灑出數學味道.如果說數學知識是學生主體性發展的基礎，那么，讓學生經歷數學知識的發生、發展的過程，則是發展學生主體性所必不可少的前提.只有通過數學活動，真正把數學課上出數學味來，才能激活學生的數學思維，使之不斷迸射出創新的火花，并在活動中體驗數學的邏輯美，從而形成一種求真、求實、求美的科學態度[14～20].

4 結 束 語

作為一名數學教師，要了解數學知識的發展史，要深入分析每一個知識點的理論基礎，只有具備豐富的、富于思想性的認識，才能教育出有數學思考能力的學生；作為一名數學教師，還要正確把握學生的理解程度和接受能力，以最大限度追求“數學化”課堂教學為主要目標，讓學生在數學課堂上享受每一分鐘的數學思考，讓學生的數學思維能力得到真正意義上的提升.

[1]趙龍山.有關數學歸納法教學中的邏輯問題[J].數學通報，1992，（9）：41-47.

[2]馮進.數學歸納法的發展歷程[J].常熟理工學院學報，2008，22（8）：19-26.