由一道雙曲線試題引起的探究與思考

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(鎮海中學 浙江寧波 315200)

由一道雙曲線試題引起的探究與思考

●朱寒杰

(鎮海中學 浙江寧波 315200)

1 試題介紹

本題是填空題最后一題，滿分4分，對文科生來說具有很大的難度.筆者所在學校的2個文科班此題得分率為10%，區分度較大. 本題主要考查函數、解析幾何與不等式的綜合應用.考查靈活運用數形結合、化歸與轉化的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力.

2 試題解法及其分析

德國數學家克萊因曾說：數學是一種目標明確的思維活動，是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度.為此，我們在解題時，要加強目標意識，在正確的目標引領下，進行有效的探索、論證.

|PQ|≤|PO|+|OQ|,

故當線段|PQ|長取到最小值時，必有點P,O,Q共線.

設函數f(x)上一點P(x0,y0)，則

其中x0>0.于是

此時

圖1

其大致圖像如圖1所示,此時

解得

即

以上2種解法都是從題目中給出的關鍵詞“函數”和“雙曲線”出發,巧妙地突破本題的一大難點，即圖像上2個動點的最值問題.

由韋達定理知

且

即

由弦長公式知

上述研究的關鍵點就是電力變壓器等效網絡的仿真計算。這也是系統研究電力變壓器繞組機械故障(徑向變形和軸向位移)和內部電氣故障(匝間短路故障和局部放電故障)的故障程度以及位置對變壓器差動保護影響的重點之一。本文通過建立集總參數模型,可以仿真繞組變形位移以及匝間短路故障,以期后續對故障類型、故障程度以及故障位置的檢測提供參考。

3 解后反思

本題是一道填空題的壓軸題，讓很多學生束手無策.細細分析此題，筆者發現其最大難點在于點P,Q分別在圖像的2支上移動，線段PQ長度的最小值由點P,Q共同決定.這就好比在函數問題中，求二元函數的最值問題，對于文科生來說難度過大.于是，如何將二元問題轉化為一元問題(即將2個動點的最值問題轉化成一個動點的最值問題)成了解決本題的核心步驟.

[1] 徐國君．“雙勾”函數圖像的本質探究[J]．中學數學研究，2007(11)：20-22.

[2] 華東師范大學數學系．數學分析(上冊)[M]:3版.北京：高等教育出版社,2001：59-66．