解答與“完全平方數”有關的競賽試題的一般方法

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(深圳市南山區蛇口中學 廣東深圳 518076)

解答與“完全平方數”有關的競賽試題的一般方法

●王遠征

(深圳市南山區蛇口中學 廣東深圳 518076)

在數學競賽試卷中，頻繁出現這樣的一類問題：求自然數n，使得關于n的一個二次多項式n2+an+b的值是完全平方數(其中a,b為常數)．在此，筆者給出解答這類問題的一般方法，即設參數、配方，對多項式進行因式分解，同時將常數分解成整數乘積的形式，然后構造方程組，進而求出滿足題設條件的自然數和所設參數的值．舉例介紹如下：

例1已知n是自然數，且n2-17n+73是完全平方數，那么n的值是______或______．

(第13屆希望杯數學競賽初二年級一試試題)

分析依題意設n2-17n+73=m2(m是自然數),配方得

(2n-17)2+3=4m2，

移項，因式分解，把常數-3也分解成2個整數乘積的形式，得

(2n-17-2m) (2n-17+2m)=

-3=-1×3=-3×1.

因為m,n都是自然數，所以2n-17+2m和2n-17-2m都是整數，且2n-17+2m>2n-17-2m,于是

或

解得

故n的值是8或9．

注該方法通俗易懂，有普遍的實用性，且解題過程簡潔明了，易于掌握和應用．

(2013年新知杯上海市數學競賽試題第6題)

分析視“m”為常數，由原方程整理成關于n的一元二次方程，得

(4-3m)n2+4mn-4=0,

此方程有整數解的必要條件是Δ=16m2-48m+64是完全平方數．因為

16m2-48m+64=22[(2m-3)2+7]

是完全平方數，所以可設k2=(2m-3)2+7，則

(k-2m+3)(k+2m-3)= 7=1×7=

-1×(-7)．

又因為k-2m+3

或

解得

于是

故整數解(m,n)=(3,2)．

注通過對分式方程去分母整理成關于n的一元二次方程，根據方程有整數解的必要條件是判別式為完全平方數，將例2轉化為與例1相似的問題來處理．

例3求能使2n+256是完全平方數的正整數n的值.

(2011年全國初中數學聯賽試題)

分析依題意設2n+256=m2，m是正整數，則

(m-16)(m+16)=2n.

可設n=x+y，其中x，y都是正整數,且x

由式(2)-式(1),得

2x(2y-x-1)=25×1，

則

2x=25且2y-x-1=1，

解得

x=5,y=6，

故

n=x+y=11.

注此題將2n表示成2x×2y的形式，以便為使用例1提供的解題方法創造條件．

例4已知直角三角形的邊長均為整數，周長為60，求它的外接圓面積．

(2012年全國初中數學競賽二試試題)

分析設直角三角形的3條邊長依次為a,b,c(a,b,c均為正整數，且為a≤b≤c)，外接圓的面積為s，則

由式(3)得a+b=60-c,

(6)

由式(4)得c2=(a+b)2-2ab,

(7)

將式(6)代入式(7)，化簡得

ab=1 800-60c.

(8)

由式(6)和式(8)知a,b是關于x的一元二次方程

x2+(c-60)x+1 800-60c=0

(9)

的2個正整數根,則方程(9)的判別式的值必為正整數的平方.

不妨設(c-60)2-4×1×(1 800-60c)=m2(m為正整數),由上式恒等變形得

(c+60)2-m2=7 200,

即

(c+60+m)(c+60-m)=25×32×52.

整數7 200共有因數

(5+1)(2+1)(2+1)=54個，

因為方程(9)的根為

所以

60-c-m>0，

從而

c+m<60.

又

3c>a+b+c=60且2c

即

20

從而

80

而

0

故在27種不同的寫成2個正整數乘積的表現形式中，只有以下2種分解方式符合題意：

或

解得

于是

[1] 吳其明，駱華.希望杯數學能力培訓教程(初二)[M].北京：氣象出版社，2008.

[2] 2012年全國初中數學聯合競賽試題參考答案[J].中學生數學，2012(9)：30-35.