一類不等式競賽題的統一證明

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(富陽中學 浙江富陽 311400)

一類不等式競賽題的統一證明

●夏松明

(富陽中學 浙江富陽 311400)

若有一個人每次最多只能跳5米遠，有一條河，河寬6米，此人想通過一系列的跳躍，從河的一邊跳到另一邊，則某個時刻，他一定落入河中.

上面的現象可引申為一個數學命題:數軸上有一區間[a,b](或(a,b))和一點集A={x1,x2,…}，滿足x1

在數學競賽中常出現與此命題相關的不等式證明問題.

(第5屆中國西部數學奧林匹克競賽試題)

|g(k+1)-g(k)|=2|xk+1|≤2，

(2012年全國高中數學聯賽加試試題)

(第38屆國際數學奧林匹克競賽試題)

證明先給出一個引理：交換x1,x2,…,xn相鄰2個數的位置可以得到其任何重排列y1,y2,…,yn.事實上，先考慮yn在x1,x2,…,xn中的位置，不斷地交換2個相鄰位置把yn往后面調整，直到yn調到最后一個數，依次類推，再考慮yn-1在x1,x2,…,xn的位置，不斷地交換2個相鄰位置把yn-1往后面調整，直到yn-1調到倒數第2個數.引理證畢，下證本題.

|y1+2y2+…+nyn+yn+2yn-1+…+ny1|=(n+1)|y1+y2+…+yn|=n+1,

交換2個相鄰的數，即(yk,yk+1)→(yk+1,yk)，有

|y1+…+kyk+(k+1)yk+1+…+nyn|→|y1+…+kyk+1+(k+1)yk+…+nyn|,

又

|yk+1-yk|≤|yk+1|+|yk|≤n+1，

每次交換后，計算式的差距不超過n+1.由引理知，通過有限次交換，我們可以從y1+2y2+…+nyn到達yn+2yn-1+…+ny1，則其中必有一個交換，使得相對應的排列y1′,y2′,…，yn′有

因此，y1′,y2′,…yn′即為所求.

下面考慮交換2個相鄰位置如下(為了節省篇幅，下面書寫中，有時一下子交換多次)：

x1,…,x50,x51,…,x100?x1,…,x49,x51,x50,x52,…,x100?x1,…,x48,x51,x49,x52,x50,…,x100?x1,…,x47,x51,x48,x52,x49,x53,x50,x54,…,x100?…?x51,x52,…,x100,x1,x2,…,x50.

[1] 單墫，熊斌.多功能題典：高中數學競賽[M].上海：華東師范大學出版社，2013.