對一個二次曲線結論的深度探究

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(杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

對一個二次曲線結論的深度探究

●鄭日鋒

(杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

文獻[1]用了較大的篇幅，最后得出了如下的統一結論：

過二次曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A2+C2≠0)上一點P(x0,y0)的2條直線與曲線交于點A,B，滿足kPA·kPB=t(t≠0).若此二次曲線方程經過x′=x+x0,y′=y+y0換元后的方程為

A′x′2+C′y′2+D′x′+E′y′+F′=0(A′2+C′2≠0),

1 完善

此結論可以完善為如下定理1.

定理1過非退化的二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上一點P(x0,y0)的2條直線與Γ交于點M,N，滿足kPM·kPN=t(t≠0).

證明設直線MN的方程為

因為點P在二次曲線Γ上，所以二次曲線Γ的方程可以化為

A(x-x0)2+B(x-x0)(y-y0)+C(y-y0)2+(2Ax0+By0+D)(x-x0)+(Bx0+2Cy0+E)(y-y0)=0,

(2)

由式(1)，式(2)得

A(x-x0)2+B(x-x0)(y-y0)+C(y-y0)2+[(2Ax0+By0+D)(x-x0)+(Bx0+2Cy0+E)(y-y0)][m(x-x0)+n(y-y0)]=0,

即

[A+m(2Ax0+By0+D)]=0.

(3)

設M(x1,y1)，N(x2,y2),由kPM·kPN=t得

[C+n(Bx0+2Cy0+E)]s2+[B+n(2Ax0+By0+D)+m(Bx0+2Cy0+E)]s+[A+m(2Ax0+By0+D)]=0

的2個實根，由韋達定理得

由式(4)，式(5)得

即

(2Ax0+By0+D)m=Ct-A+t(Bx0+2Cy0+E)n.

(1)若Ct-A=0，則

②當2Ax0+By0+D=0時，Bx0+2Cy0+E≠0(否則，若Bx0+2Cy0+E=0，二次曲線的方程變為A(x-x0)2+B(x-x0)(y-y0)+C(y-y0)2=0,此時二次曲線Γ為退化的二次曲線)．因此n=0,直線MN的斜率不存在．

(2)若Ct-A≠0，則

即(Ct-A)(x-x0)-(2Ax0+By0+D)+[t(Bx0+2Cy0+E)(x-x0)+(2Ax0+By0+D)(y-y0)]n=0.

因此，直線MN過定點

以上證明過程通過巧設直線MN的方程，并把二次曲線方程化為關于x-x0,y-y0的方程(缺常數項)，于是構造以kPM,kPN為實根的一元二次方程，進一步利用韋達定理，得到關于m,n的關系式，從而得到結論.整個過程自然簡潔，對于具體的問題也很容易操作．

2 聯想

至此，我們自然會產生聯想：如果改為kPM+kPN=t，結論如何？

由定理1的證明過程很容易得到如下定理2.

定理2過非退化的二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上一點P(x0,y0)的2條直線與Γ交于點M,N，滿足kPM+kPN=t(t為常數)．

[1] 徐存旭．大膽猜想 小心求證 逐步推廣[J]．數學通報，2012(5)：40-43.