適性教育下的數學教學
——從日本“一次函數應用”教學案例得到的啟示

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(浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004)

適性教育下的數學教學
——從日本“一次函數應用”教學案例得到的啟示

●劉曌朱哲

(浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004)

1 問題的提出

適性教育，顧名思義就是適合學生的教育，孔子的“因材施教”可以說是對“適性教育”最好的詮釋.數學作為一門具有嚴謹邏輯思維體系、高度抽象概括性的學科，常常與學生生活經驗相脫節，導致多數學生都認為數學枯燥、難學，且無多大用處.如何開展適合學生的數學教育，使學生認為數學有趣且有用，是我國當前數學教育的理論與實踐中亟待解決的問題之一.一次函數是學生首次接觸的函數，同時它也是初中數學中最基本、重要的內容之一.目前國內不同版本的教科書對一次函數的處理，基本上是通過速度與距離的數量關系、水位的變化或者彈簧的拉伸展開的，與學生生活經驗密切相關的內容較少.如何進行適合初中學生的一次函數教學，讓學生深入理解一次函數，切身體會它的應用價值，是值得我們研究的.

本文介紹一則來自日本的關于一次函數應用的教學案例，希望提供一個適性教育下開展數學教學的思路，供大家思考.

2 一次函數應用的教學案例

2.1 案例背景

圖1 圖2

本教學案例[1]主題是一次函數的應用，應用題材為網球發球，即對問題“直線發出的球為了順利落到對面的發球區，從多少高度發出球最好”的思考.這里忽略球受到的空氣阻力及重力影響，即網球所做的是勻速直線運動.運動員從發球線中央(圖1中A)發球.圖1表示由發球規則所確定的發球區區域大小.為了計算簡便，網球場的各部分長度使用圖2中的數據.其中，網的高度由地表起算，約為1 m.

2.2 開展教學

2009年12月21日，在日本岐阜県岐阜市立青山中學開展了這次教學，對象為初中二年級學生，共29人.下文是此教學案例的課堂記錄，以及筆者對其進行的簡單點評.整節課分4個環節有條不紊地進行：第1部分“問題提出——確定課題”；課題確定之后，學生通過資料卡的學習進行“課題探索”；待所有學生均將問題解決之后，進行第3部分“意見交流、總結”；在全體學生、教師進行交流的基礎上，教師針對此次教學進行了“及時反饋”，以了解學生是否達到預定的學習目標.

2.2.1 問題提出——確定課題

教師播放網球視頻.視頻有2種：一種是盡全力打出直線球，卻沒有進入對面發球區；另外一種是松弛地自由發球，使網球像小山一樣的弧線進入對面發球區.首先播放第一個視頻，引導學生思考為什么第一個動畫中全力發出的直線球沒有進入發球區.學生進行了各種猜測.

T:為什么球沒有進入發球區呢？

S1：可能還需要多加練習吧.

S2：發球力量不夠吧.

點評題材選取的合適與否，直接決定了課堂教學的成敗.這里教師由學生生活經驗出發，以網球這一日本學生非常熟悉且熱愛的運動為切入點，在一開始就吸引了學生的注意力，對于接下來要發生什么學生都滿懷期待，為接下來的課題探索作好了精神準備.積極調用學生的生活經驗進行教學，提高了教學效率，并且使學生對教學內容產生積極共鳴與濃厚興趣.

此時，播放第2個視頻，學生似乎明白了改變擊球方式可以使球順利進入對面發球區.緊接著再重新播放第一個直線擊球的視頻.

T:假設將擊球高度設置在2.4 m高處，全力擊球，球會進入發球區嗎？

(學生陷入思考當中.)

S部分：可以進去.

S部分：不能進去.

點評引導學生進行思考并產生要解決的問題，是數學課堂中至關重要的一點.教師在這里成功地將學生引入了思考當中，為接下來的問題解決做好了鋪墊.

學生開始議論紛紛，表現出感興趣的樣子.此時，這節課的課題已經漸漸明晰.如圖3中的位置發球，與網的上端連接成一條直線.根據以上假設，考慮：

問題1直線發出的球為了順利落到對面的發球區，從多高的高度發出球最好(圖3)？

圖3 圖4

問題2從2.4 m高度直線發出的球能否順利落到對面的發球區(圖4)？

接著，教師和學生一起確定了全力擊出球的軌跡是一條直線.

T：大家思考一下是否可以用我們所學過的數學知識表示直線呢？

S全體：一次函數.

然后，教師引導全體學生選取合適的坐標軸，坐標軸的選取是本次授課的難點.在教師和學生的共同討論下，選取地面為x軸，網球場中央網所在直線為y軸.由此，確定了此次教學的課題.

點評在“問題提出——確定課題”這一部分，教師以問題為導向，將學生自然而然地帶入了網球發球的問題情景中.從學生經驗出發，拋出了學生感興趣的問題，由此激發了學生的內在學習動機，使學生自己有興趣和想法，并且想要去探索并解決這個問題.這一點值得我們學習.

2.2.2 課題探索

確定課題之后，教師引導學生自主完成問題的探索求解.這里提供學生研究的學習資料卡分為2種：資料1和資料2.

資料1供數學學習中等以上的學生.資料中僅給出問題求解所需的數據，以及2個需要探討、研究的問題，希望學生能通過研究使問題得到解決.

高度！幾米？

2年級______組 姓名______

問題：考慮盡全力打出的直線球.

課題：從2.4 m高度直線發出的球能否順利落到對面的發球區？考慮用一次函數解決.

圖5 圖6

評價問題：直線發出的球為了順利落到對面的發球區，從多高的高度發出球最好？

資料2供數學學習稍有困難的學生，其中設置了多個提示項，引導學生一步步解決問題.從一次函數解析式的分步求解，到將已求解的數學問題轉化為實際問題的應用，每一步都有相應提示，保證學習困難的學生也可以順利完成課題.

高度！幾米？<提示卡>

2年級______組 姓名______

圖7 圖8

圖7中的點表示通過一次函數直線上的2個點：(0,1),(-12,24)，與y軸交點的截距是______.

由此可得出一次函數的解析式為：y=______.

如圖8,假如知道點P的坐標，那么就可以知道中央網到網球所落點的距離.

點P的縱坐標為0，將0帶入一次函數y=______中……可得點P坐標為______.

由此可得出中央網到網球所落點的距離為______m.

從中央網到發球線末端的距離約為6.4 m，那么高2.4 m擊出的球……

學生在進行探索時，教師同時進行教學觀察.如果拿到資料1的學生感到有困難，教師就將資料2發放給學生，讓其繼續探索.對遇到還有困難的學生進行必要的提示和幫助，把握所有學生探索研究的進展過程.

點評至此可以看出，教師所采用的是自主探究的學習方式.此處的亮點是教師分發給學生的學習資料卡是有針對性.資料1與資料2分別兼顧了學有余力和學有困難的學生，充分體現了因材施教的觀點.第2個值得我們關注的是教師對動態課堂的掌控，對預設教學與生成教學之間的平衡把握.教師在學生進行課題探索的同時，對學生進行觀察，及時發現學生學習中遇到的困難，并進行必要的教學策略調整，這樣就把握了課堂向高效的方向發展.真實的課堂總是會發生這樣那樣的情況，教師要通過觀察、對話、交流等方式，關注學生如何學習、會不會學習以及學習的程度等等，及時幫助學生改善學習行為，提高課堂效率.

2.2.3 意見交流、總結

每個學生根據自己探索的結果，就“直線發球是否可以進入對面的發球區嗎”進行交流討論.教師指定2名學生(分別是學習優良生和學習有困難學生)對自己的方法進行板演.

S1：求出直線的斜率，知道直線上一點的坐標，帶入直線的一般式y=ax+b.

S2：由一次函數變化量總是相等這一性質出發，導出結論.

全班學生一起進行了激烈的討論，判斷哪一種方法可以求出網球是否能落入發球區.

教師繼續引導大家：還有別的方法可以判斷嗎？

最后29個學生一致認為在所給出的條件下，網球是無法進入發球區的.

點評注意到“每個同學……進行交流討論”、“29個學生一致認為……”、“全班學生一起進行了激烈的討論”，教師關注到了每個學生對課題的見解，讓學生充分展示自己的個人思想，讓每一位學生參與問題解決.課堂是教師的，也是學生的，教師作為課堂的一份子，與學生共同完成課題的探索.這里不存在純粹的教師與學生，而是一群作為教師的學生和一個作為學生的教師.

2.2.4 及時反饋

T:通過本節課的學習，大家都學到了什么？

S:一次函數、變化率、讀圖與作圖、閱讀、代入法、正數、負數.

T:除了網球的發球以外，你們認為一次函數還可以應用在哪些類似的場合？

S:棒球的投手進行擊球的時候、足球、羽毛球、排球、乒乓球、籃球.

T:再回顧一下今天的內容，大家有什么收獲？

S1:知道了從2.4 m的高度擊出的球是否能落入發球區，感到很高興.

S2:原來運動場上的問題也可以用數學求解呀！

S3:網球的發球竟然可以用一次函數來思考，感覺好神奇！

S4:原來一次函數還可以表示我們身邊發生的事物，感到好驚訝呀！

S5:我想調查一下身邊還有哪些問題可以使用一次函數解決.

S6:一次函數原來是有用的啊！

S7:今天之前，我一直認為一次函數是沒有用的，而且覺得也很難.今天了解到一次函數竟然可以應用到身邊的場景.

……

點評及時反饋可以幫助教師確定學生是否達到了預定學習目標.這一部分教師分別從知識與技能、過程與方法、情感態度這3個方面進行反饋提問，可以看出原本覺得數學沒有多大樂趣和用處的學生們對數學有了重新的認識，并且知識與技能方面也得到了鞏固.而且可以看出，教師在進行適當引導后，學生可以將所學知識迅速遷移到類似的場景中進行應用.

3 結論與啟示

以上的教學案例，讓數學課堂有了耳目一新的感覺，教師的“教”是為了學生的“學”，學生的“學”帶動了整個課堂的學習氛圍.從這則一次函數應用的教學案例可以看出，日本的課堂最顯著的一個特點就是“以學習為中心的教學”，關注每一位學生的成長，實現每一位學生真正的學習.不僅關注“上層”學生的學習，也關照到了“下層”學生的學習，同時，通過教學觀察，及時調整策略，使所有的學生都能在原有的經驗基礎上實現有意義的學習.

綜合來看，這則教學案例有以下一些特點：(1)從學生經驗出發，精心組織教學，通過情景導入吸引學生注意；(2)兼顧每位學生的學習發展，注重因材施教的教學思想；(3)以問題解決貫穿整個課堂教學始終.讓學生通過問題解決的過程學習數學，通過具有實際意義的問題解決幫助學生充分認識數學的應用價值和樹立正確的數學觀；(4)在教師的組織下，學生充分發表自己的見解，并且與學生進行探討，最終獲得對問題的一致性認識.

適性教育下的數學教學該如何開展，怎樣的數學課堂才是適合學生的？從這則來自日本的教學案例，我們可以得到一些啟發.筆者認為以下3點是可以借鑒學習的.

3.1 關注學生的生活經驗，激發內在學習動力

數學是一門高度抽象與概括的學科，對于大部分學生而言，數學中很多內容本身就是枯燥、難懂、沒有任何樂趣的，甚至在短期看來是毫無用處的.如何構建適合學生的數學課堂，使學生想要學習且樂于學習數學是教學必須關注的重要問題.關注學生的生活經驗是一個很好的途徑.由這則教學案例可以看出，教師選取的是日本學生所熟悉且熱愛的網球為素材，在課堂開始就吸引了學生的注意，從問題的探索求解，到之后師生之間的交流，都可以看出學生充滿了興趣，對課題的探索也是源于內心的真實情感，學生的內在學習動機也有效地促進了課題的探索，由此才有了這次課堂的成功.我們的數學教學也應以學生的生活經驗為基礎，從學生熟悉、熱愛的場景出發，吸引學生的注意，激發學生的內在的學習動機.我們知道，當學生的學習是以內部動機為主時，他是真正對學習產生了興趣，是對學習活動的熱愛，能更為有效地進行和堅持學習活動[2].如此一來，學生有興趣學了，也能學好了，并且在問題解決的過程中也樹立了正確的數學觀，認識到了數學的應用價值.

3.2 注重學生的個體差異，兼顧課堂公平

認知心理學認為，即使處于同一年齡時期的兒童，在智力發展水平、認知風格、興趣等方面都存在著明顯的個體差異.學生在進行數學學習時，其認知水平、起點狀態、情感態度也不同程度地存在著差異，這就必然要求為他們提供適合其狀態的教學.因此必須敢于承認學生的差異，敢于根據學生差異而教，敢于教出“差異”來，而不能按照一個標準搞“一刀切”[3].這里“課題探索”部分教師在引導學生自主學習的同時，充分關注了學生的學習起點狀態、學習能力差異等，并有針對地準備了2種學習資料卡，因材施教的同時，也保護了每位學生的學習自尊心，樹立了學習自信心.因此，適合學生的數學教學應該是立足學生差異，關注學生的學習起點水平、學習能力與情感態度，并在此基礎上進行針對性的教學，滿足每一個學生的學習需要，使所有的學生都能在原有基礎上得到充分的發展.

與此同時，關注學生的個體差異在一定程度上體現了教育公平.在我國長期的數學教育實踐中，往往可以看到教師對學業成績優良和學業成績不良的學生采用的都是統一的教學內容與進度、統一的教學方法和統一的評價方式，這樣就導致了強者更強、弱者更弱的兩極分化的極端現象，學困生往往也是這樣產生的.這種忽略學生差異的教學其實就是教育不公平的一種體現.

3.3 構建和諧寬松的課堂氛圍，創建學習共同體

佐藤學教授說:“學校和教師的責任并不在于‘上好課’.學校和教師的責任乃在于:保障每一位學生的學習權,提供學生挑戰高水準學習的機會”[4].數學課堂更是如此，原來“填鴨式”、“滿堂灌”的時代早該進入博物館了.從這例日本課堂可以看出，教師與學生是親密的伙伴關系，沒有出現教師獨擋一面、學生側耳傾聽的現象.教師在課堂上最主要的任務是促成每一位學生真正意義上的學習，使每一位學生都能有所進步.學生也在師生、生生間的共同交流中豐富了知識，擴展了思維.課堂就應該是這樣，是每位學生與教師共同學習進步的一個平臺.因此，數學教師的責任不在于“上好課”，更重要的是作為引導者、合作者、伙伴，與學生共同構建合作學習、互幫互助、共同進步的課堂.這樣的課堂才能提供給每一位學生學習的機會與權力，才有可能實現每一位學生真正意義上的學習.“教是為了不教，學是為了會學”，數學課堂不應該單純是教師講授的平臺，更應該是學生共同學習、共同進步的平臺.

(注：本文系2011年度浙江省教育廳科研項目“初中‘適性教育’的理論與實踐”(編號：Y201122231)的研究成果之一.)

[1] 後藤弘樹,愛木豊彥.テニスのサーブを題材とする1次関數の活用[J].岐阜數學教育研究,2010(9):62-69.

[2] 陳琦,劉儒德.教育心理學[M].北京：高等教育出版社,2010:194.

[3] 姜智,華國棟.“差異教學”實質芻議[J].中國教育學刊,2004(4):52-55.

[4] 佐藤學.學校的挑戰:創建學習共同體[M].鐘啟泉,譯.上海:華東師范大學出版社,2010:1-2.