一道湖北預賽試題的解法及一般性結論

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(會宮中學 安徽樅陽 246740)

一道湖北預賽試題的解法及一般性結論

●王懷明汪根友

(會宮中學 安徽樅陽 246740)

(2012年全國高中數學聯賽湖北省預賽試題)

圖1

圖2

(1)

(2)

評注該解法通過構造數量積,把向量等式化為數量形式,然后利用向量數量積的幾何意義,通過計算得到2個方程,計算量比解法1要小.

圖3

AF=OF=AE.

由OF∥AB,得

即

解得

因此

因為AB=2,AC=3,所以

評注該解法根據平面向量基本定理作平行四邊形,再由三角形內心的性質求出p,q的值,計算量較小.

我們發現p,q的值與△ABC的3條邊的長度緊密相關:它們的分母7等于3條邊長度之和,分子分別等于AB,AC的長度,p,q的比值恰好等于2條邊AB,AC的長度之比,是巧合還是必然?經過探究,筆者得到如下結論:

圖4

由點O是△ABC的內心,得AO平分∠BAC,即四邊形AEOF是菱形,從而

AE=AF=OF.

由OF∥AB，得

即

解得

因此

即

同理可得

筆者還發現p,q的比值僅與邊AB,AC的長度有關,而與另一邊BC的長度無關,因此該試題的條件“BC=2”是多余的.若要求出p,q的值,則需要用到此條件.