年年考向量 歲歲數與形
——浙江省自主命題以來向量試題特點評析

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(余杭高級中學 浙江余杭 311100)

年年考向量歲歲數與形
——浙江省自主命題以來向量試題特點評析

●曹鳳山

(余杭高級中學 浙江余杭 311100)

“注重考查數學的本質、注重數學的核心思想方法考查”是浙江省數學高考試題的顯著特點之一，這從試題對向量內容的考查可略見一斑.自2004年浙江省自主命題以來，每年都有一道向量內容的客觀題，入口都較寬，解法多樣，其中數形結合的方法往往是最優解.同時，每道試題的背后都有一個漂亮的幾何背景，都對應一個淺顯直觀的幾何結論.下面以理科試題為例，主要從數形結合的角度做簡要解析.

(2004年浙江省數學高考理科試題)

分析如圖1，顯然△ABC為直角三角形.根據向量積、向量所成角的概念，知

0+ac·cos(π-C)+bc·cos(π-A)=

-(a2+b2)=-c2=-25.

幾何背景：直角三角形.

幾何結論：直角邊在斜邊上射影的和等于斜邊長(向量式的“射影定理”).

圖1 圖2

例2已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D. (a+e)⊥(a-e)

(2005年浙江省數學高考理科試題)

分析根據a2=|a|2進行轉化是常規的思考方向.因為|a-te|≥|a-e|，即

(a-te)2≥(a-e)2，

亦即

t2-2ta·e+2a·e-1≥0,

所以

Δ=4(a·e-1)2≤0,

故a·e=1.選C.

幾何背景：直線外一點到直線上點的距離.

幾何結論：從直線外一點到這條直線所畫的線段中垂線段最短.

例3設向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2的值是______.

(2006年浙江省數學高考理科試題)

分析如圖3，由a⊥b知四邊形ABCD為矩形.又因為a+b+c=0，(a-b)⊥c,所以四邊形ABCD為正方形，故

c2=2|a|2，|a|2+|b|2+|c|2=4.

幾何背景：正方形.

圖3 圖4

例4若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|，則

( )

A． |2a|>|2a+b| B．|2a|<|2a+b|

C． |2b|>|a+2b| D．|2a|<|a+2b|

(2007年浙江省數學高考理科試題)

幾何背景：等腰三角形(直角三角形).

幾何結論：等腰三角形底邊上的高小于腰(或直角三角形的直角邊小于斜邊，或三角形的兩邊之和大于第三邊).

例5已知a，b是平面內2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省數學高考理科試題)

幾何背景：圓.

幾何結論：直徑上的圓周角是直角，直徑是圓中最長的弦.

圖5 圖6

例6設向量a，b滿足|a|=3,|b|=4,a·b=0.以a，b,a-b的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

(2009年浙江省數學高考理科試題)

分析如圖6，半徑為1的圓可以與三角形有4個不同的交點.下面探討能不能有5個甚至更多的交點,也就是半徑為1的圓能不能與第3條邊也相交？先看一種極限的情形，圓是三角形的內切圓時，

這時r=1.如果⊙O與AC有2個交點，則一定與另外2條邊中的一條相離，即最多的交點個數為4個.

幾何背景：(直角)三角形.

幾何結論：半徑等于(小于)內切圓半徑的圓最多與三角形的2條邊相交.

例7已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

(2010年浙江省數學高考理科試題)

易知，點B在單位圓上，圓心為G，點A在OB所張圓周角為60°的圓的一段弧上，從而

∠OGB=2∠OAB=120°.

幾何背景：圓.

幾何結論：同弧(等弧)上的圓周角相等,同弧所對圓心角是圓周角的2倍.

圖7 圖8

(2011年浙江省數學高考理科試題)

幾何背景：平行四邊形、三角形、圓.

幾何結論：到定直線距離相等的點在一條直線上.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

分析如圖9，AM=3，MB=MC=5，因此

或利用

(1)

因為

所以

(2)

式(1)-式(2)，得

或寫成

圖9

幾何背景：平行四邊形.