由一道簡單的最值問題引發的思考

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(葫蘆島市第二高級中學 遼寧葫蘆島 125001)

由一道簡單的最值問題引發的思考

●張楠

(葫蘆島市第二高級中學 遼寧葫蘆島 125001)

學習拋物線時，筆者給學生布置了一道簡單的練習題：

題剛布置完，學生便思路涌動，很快就得出了答案，并且全部正確，解法如下：

為了進一步熟悉過程以及加強學生的計算能力，筆者對這道題做了一個小變動：

與問題1解法類似，也是先列出

細心的學生進一步計算發現：

k·kPA=-1.

對于問題2，同樣可以計算出

k·kPB=-1.

猜想設P是拋物線y2=4x上一動點，點M(a,b)(b≠0)不在拋物線上，過點P的切線記為l，斜率為k，當|PM|取得最小值時，k·kPM=-1.

令f′(y)=0，變形得

(1)

另一方面，拋物線在x軸上方的部分可表示為

從而

對于這個結論的取得，學生們都很高興.正當得意之時，筆者提出一個問題：若拋物線是任意的，結論還成不成立?頓時，課堂上鴉雀無聲，學生都在思考.

定理1設Q是拋物線y2=2px(p>0)上一動點，點M(a,b)(b≠0)不在拋物線上，過點Q的切線記為l，斜率為k，則|QM|取得最小值的充要條件是k·kQM=-1.

令f′(y)=0，則

另一方面，拋物線在x軸上方的部分可表示為

從而

(3)

對比式(2)和式(3)，不難發現這2個方程同解.由此，定理1得證.

眾所周知，拋物線的標準形式有4種，同理可知對于其他3種形式的拋物線也應有相應的結論成立.探究到這里，筆者感到非常欣慰，學生真正思考起來，思路拓寬了，積極性高漲起來.接著，筆者引導學生思考：我們知道拋物線上頂點到焦點的距離最近，如果把焦點改為在對稱軸上任取的點，還會不會有同樣的結論？

問題3設Q是拋物線y2=2px(p>0)上的一個動點，點C(a,0)(a≠0)，問：|QC|min=|OQ|是否成立?

令f′(y)=0,得

y[y2+2p(p-a)]=0.

綜上所述，只有當a≤p時,|QC|min=|a|成立.

定理2已知拋物線y2=2px(p>0)，N(a,0)(a≠0)是x軸上的一個動點，當a≤p時，點N到拋物線上頂點距離最短.

對于a>p的情況，可根據問題1的解法，求得最短距離以及相應的點的坐標.

其實，學習并不那么枯燥、死板，只要給學生想象的空間和時間，他們會有很多想法.當他們將這些想法付諸實踐，不僅加深了對所學知識的理解，更提高了學生學習數學的興趣，同時這些想法也會對教師產生一定的積極影響.所謂“教學相長”，說的就是這個道理，因此教師要帶動學生多思考、多實踐.