一道全國聯賽試題的再思考

●

(衢州市第一中學 浙江衢州 324000)

●李世杰

(衢州市教育局教研室 浙江衢州 324002)

一道全國聯賽試題的再思考

●李盛

(衢州市第一中學 浙江衢州 324000)

●李世杰

(衢州市教育局教研室 浙江衢州 324002)

1988年全國高中數學聯賽試題：

設a≥0,b≥0,n∈N*,n≥2,則

當且僅當a=b或ab=0時,等號成立.

文獻[1]中提供了用基本不等式法和數學歸納法等證明的5種不同方法.從變式的角度分析，有

變式設a≥0,b≥0,n∈N*,n≥2,則

當且僅當a=b或ab=0時,等號成立.

可見不等式(2)是不等式(1)的等價變式.我們對不等式(2)再作深入思考：

都是不等式f(x)f(y)≤f(x+y)的特解.

證明用數學歸納法.當m=2時,因為

所以

由定理1,知

此時定理2結論成立.

假設當m=k(k∈N,k≥2)時,定理2結論也成立，即

則當m=k+1(k∈N,k≥2)時,因為ak+1≥0,所以

由假設,不等式(5)成立,根據基本不等式得

即

故由不等式(5)及定理1,得

這說明當m=k+1時,定理2結論也成立.

由歸納原理,對任意m∈N,m>1,定理2結論恒成立.

有了2個定理的結論，下面舉例說明其應用.

例1設n∈N*,n≥2,a≥0,b≥0,且ab≤1,則

1+(a+b)n≥(1+an)(1+bn),

當且僅當ab=0時,等號成立.

證明當n∈N*,n≥2時，有2n≥4，因此

應用定理1,得

1+(a+b)n≥(1+an)(1+bn).

注易知，對n∈N*,n≥2,a>0,b>0,且ab=1不等式1+(a+b)n>(1+an)(1+bn)成立.

例2設n∈N*,n≥2,a,b,c≥0,且a+b+c=3,則

(1+an)(1+bn)(1+cn)≤1+3n.

(1+an)(1+bn)(1+cn)≤1+(a+b+c)n=1+3n.

注(1)當n=3時,本題結論即(1+a3)(1+b3)(1+c3)≤28.文獻[2]已證明

(1+a3)(1+b3)(1+c3)≥8，

因此,設a,b,c≥0,且a+b+c=3,則

8≤(1+a3)(1+b3)(1+c3)≤28.

一般地，我們猜測：

設n∈N*,n≥2,a,b,c≥0,且a+b+c=3,不等式8≤(1+an)(1+bn)(1+cn)≤1+3n成立.

(2)與本例類似，可得

①設n∈N*,n≥2,a,b,c≥0,且a+b+c=1,則

(1+an)(1+bn)(1+cn)≤2.

②設n∈N*,n≥2,a,b，c≥0,且a+b+c=2,則

(1+an)(1+bn)(1+cn)≤1+2n.

[1] 李世杰.一道全國競賽題的多種解法[J].中學教研(數學),1989(5):29-30.

[2] 楊學枝.數學奧林匹克不等式研究[M].哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社,2009:192.

[3] 李盛,金雪東.高一數學變式教學的實踐與思考[J].中國數學教育:高中版，2012(4):12-14.