平面向量在高考試題中的幾個難以釋懷的“情結”

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(杭州師范大學附屬中學 浙江杭州 31003)

平面向量在高考試題中的幾個難以釋懷的“情結”

●蘇立標

(杭州師范大學附屬中學 浙江杭州 31003)

平面向量是高中數學的重要知識點，是溝通代數、幾何和三角函數的重要工具.在高考試題中，平面向量試題往往短小精悍，內涵豐富，富有啟迪性，特別是浙江省數學高考試題中的平面向量問題更是獨樹一幟，精彩紛呈，值得我們研究討論，以供高考復習參考．

1 幾何的情結

例1已知a，b是平面內2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省數學高考試題)

幾何特征是向量的重要特征，利用向量的幾何特征往往能使問題迎刃而解，向量問題幾何化的最常見途徑有：構造圓的問題或轉化為解三角形問題等．

2 恒等式的情結

(2012年浙江省數學高考試題)

解法1由余弦定理得

AB2=AM2+BM2-2AM·BMcos∠AMB=

52+32-2×5×3cos∠AMB,

AC2=AM2+CM2-2AM·CMcos∠AMC=

32+52-2×5×3cos∠AMC.

又

∠AMB+∠AMC=180°，

2個式子相加得

AC2+AB2=2AM2+2CM2=2×(32+52)=68,

從而

解法2由向量性質知

評注比較2種解答方法，利用重要恒等式解答問題，從整體上處理，既避開了繁瑣的運算，同時也突出了數學問題的本質，直奔代數運算的主題，過程鮮明，一氣呵成，是不錯的選擇．

( )

A．∠ABC=90° B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

(2013年浙江省數學高考試題)

解設M是BC的中點，則

于是

即

P0M⊥AB.

故選D．

( )

A．C0M⊥AB

B．C0M⊥l,其中l是拋物線過C0的切線

C．C0A⊥C0B

(2013年浙江省高中數學競賽試題)

其實還可以利用恒等式進行變形應用:把例1中的條件(a-c)·(b-c)=0變為

從而

這就是傳說中的圓方程的向量形式,即從代數的視角看向量的幾何特征.

3 判別式的情結

(2013年浙江省數學高考試題)

解由條件得

即

從而

即

x2≤4|b|2,

引申已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A．a⊥eB．a⊥(a-e)

C．e⊥(a-e) D．(a+e)⊥(a-e)

(2005年浙江省數學高考試題)

解|a-te|≥|a-e|等價于

(a-te)2≥(a-e)2，

即

t2-(2a·e)t+(2a·e-1)≥0

對任意t∈R恒成立，因此

Δ=(2a·e)2+4(2a·e-1)≤0，

即

(a·e-1)2≤0，

從而a·e=1.故選B.

例5已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______．

(2010年浙江省數學高考試題)

分析由向量的幾何意義可以把問題轉化為解三角形問題,但學生對于構造三角形比較生疏,錯誤率也較高,因此不妨從代數運算進行考慮,根據題意知

1= |β|2=β2=[α+(β-α)]2=

|α|2+|β-α|2-|α|·|β-α|,

這樣就可以得到關于|β-α|的一元二次方程

|β-α|2-|α|·|β-α|+|α|2-1=0

有正實數根，從而

Δ=|α|2-4(|α|2-1)≥0，

向量本身就是數形結合的產物，是銜接代數與幾何的紐帶,它兼具代數的抽象、嚴謹和幾何的直觀、形象等特點，是利用數形結合的一種重要載體.因此向量問題的解決，從理論上來說不外乎有2種途徑，即基于幾何表示的幾何法，以及基于坐標表示的代數法．在具體問題的解答時，要善于靈活運用,學會幾何與代數比翼雙飛．