例析2013年浙江省數學高考中的基本平面圖形

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(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

例析2013年浙江省數學高考中的基本平面圖形

●沈順良

(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

基本平面圖形在幾何問題解決過程中起著重要作用，立體幾何圖形通常是化歸為平面基本圖形來解決的，數形結合聯系較密切的解析幾何、向量、三角等問題，也需要通過平面基本圖形及其性質簡化解題.

1 解基本平面圖形問題

若考題本身就是解決基本平面圖形問題，則可以直接解此基本平面圖形.

(2013年浙江省數學高考理科試題第16題)

解法1令CB=2m，則AC=n，從而

由題意知

sin∠BAM=sin(∠CAB-∠MAC)=

下同解法1.

2 利用基本圖形尋找關系

若考題涉及的知識是以基本平面圖形為背景的，則可以利用基本圖形找出相關量的關系，從而解決所求問題.

圖1

( )

(2013年浙江省數學高考理科試題第9題)

分析本題是雙曲線和橢圓的交匯，可以將它們構成的矩形轉化為直角三角形，再結合橢圓和雙曲線的基本定義，找到對應量的關系.

解由橢圓定義|AF1|+|AF2|=4，再利用勾股定理得

|AF1|2+(4-|AF1|)2=12，

解得

本題也可以令A(2cosθ,sinθ)，同樣通過勾股定理求出點A的坐標，再用第一定義或是求雙曲線方程即可.

3 直接運用基本圖形進行邊角運算

若考題背景本身是簡單的平面基本圖形，則可以直接運用其邊角運算來解題.

(2013年浙江省數學高考理科試題第17題)

分析此向量題的背景為一個基本平行四邊形的邊長和夾角問題，可以直接運用三角形或平行四邊形的相關邊角運算來求解.

解令|b|=z，由余弦定理

本題也可以通過平行四邊形邊長與對角線長的性質z2+m2=2x2+2y2(m為另一條對角線長)和余弦定理來解.

4 轉化為平面基本圖形

若考題背景對應的是平面圖形問題，則可以通過添輔助線、割或補的方式，轉化為平面基本圖形來解決.

( )

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

(2013年浙江省數學高考理科試題第7題)

圖2

分析本題是關于向量數量積的最值問題，可以通過添輔助線(AB邊上的高)，轉化為基本直角三角形來簡化向量數量積運算.

解法1如圖2,作CO⊥AB，垂足為O，顯然要取的最小點P在線段BO上.由數量積定義得

|OP|2-|OB|·|OP|,

5 運用基本圖形性質

平面基本圖形具有常見的性質，運用這些常見性質可以直接解題.

(1)求橢圓C1的方程;

(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.

(2013年浙江省數學高考理科試題第21題)

圖3

解由題意知直線AB的斜率存在，令其為k，則直線AB的方程為y=kx-1，從而直線PD的方程為

解方程組

本題也可以令D(2cosθ,sinθ)，用θ表示直線AB的方程，同樣利用垂徑定理求AB長，再用兩點距離求出高DP，將面積化為關于θ的函數求最值.

6 化歸為基本平面圖形

立體圖形常選擇重要位置化歸為平面基本圖形來解決.

例6在空間中，過點A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ(A).設α,β是2個不同的平面，對空間任意一點P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有PQ1=PQ2，則

( )

A.平面α與平面β垂直

B.平面α與平面β所成的(銳)二面角為45°

C.平面α與平面β平行

D.平面α與平面β所成的(銳)二面角為60°

(2013年浙江省數學高考理科試題第10題)

分析按照定義P,fα(P),fβ(P),Q1,Q2都在過點P且垂直于α,β棱的同一平面內，且點P,fα(P),fβ(P),O構成一個對角為直角的平面四邊形，易得當四邊形為矩形時，Q1,Q2重合滿足條件.

故選A.

(1)證明：PQ∥平面BCD;

(2)若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小.

(2013年浙江省數學高考理科試題第20題)

圖4 圖5

分析本題第(1)小題可以根據點P,Q的特殊位置條件，利用平行四邊形找到平面BCD內和PQ平行的直線.本題第(2)小題則可通過作出二面角C-BM-D的平面角，化為平面三角形求解，而其中三角形各邊長也都可以利用各自所在的直角三角形由面積法求得.

(2)如圖5,作CG⊥BD，GH⊥BM，聯結CH.由CG⊥AD，知CG⊥面ABD，得CG⊥BM，于是BM⊥面CGH，因此∠CHG就是二面角C-BM-D的平面角.

令BC=m，CD=n,則m2+n2=8，在△BCD和△BCM中，由面積相等可得

平面基本圖形是中學數學的基礎內容之一，在上述考題的解決中，也蘊含著豐富的數形結合和化歸等數學思想.