從分式運(yùn)算對(duì)理科學(xué)生的解題要求談起——對(duì)浙江省數(shù)學(xué)高考試題的幾點(diǎn)思考

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(杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)

從分式運(yùn)算對(duì)理科學(xué)生的解題要求談起——對(duì)浙江省數(shù)學(xué)高考試題的幾點(diǎn)思考

●夏霖馬茂年

(杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)

2013年高考結(jié)束，關(guān)于數(shù)學(xué)高考試題的各種分析鋪天蓋地，有的挖掘試題背景給出精彩“秒殺”解法，有的借助數(shù)學(xué)軟件從直觀的角度尋求解法，誠(chéng)然上述研究作為教研活動(dòng)值得提倡，能夠開(kāi)拓教師教育教學(xué)的思路.筆者認(rèn)為，教師不僅要站在“山頂”高屋建瓴地給“山下”的學(xué)生指點(diǎn)江山，更應(yīng)走到“山下”，給學(xué)生指一條路，并且陪著學(xué)生一起“上山”，讓學(xué)生能夠自己到“山頂”領(lǐng)略無(wú)限風(fēng)采.對(duì)于考生而言，在緊張的考試過(guò)程中，往往很難實(shí)現(xiàn)“秒殺”.筆者試著以一名普通考生的心境做完2013年浙江省數(shù)學(xué)高考卷，發(fā)現(xiàn)本著一顆平常心，不追求奇思妙解，踏踏實(shí)實(shí)地從題意出發(fā)，走平常路，也能得到不錯(cuò)的成績(jī).

本文僅以理科卷中能用到分式運(yùn)算的試題為例，因?yàn)橥ㄓ^文、理卷，筆者深深感觸到:文科和理科對(duì)于分式運(yùn)算的要求大為不同，粗粗算來(lái)理科卷中涉及分式運(yùn)算的有以下幾題：第6,16,17,19,21題，而文科卷僅一題.本文中筆者列舉的處理分式的方法都是基本方法，于學(xué)生而言容易上手，在有限的考試時(shí)間內(nèi)不必花費(fèi)大量時(shí)間尋找解題思路，穩(wěn)扎穩(wěn)打即可收獲成功.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

即

從而

可化為

3tan2α-8tanα-3=0,

從而

因此

注解法1是處理分式“齊次式”的常用方法，分子、分母同除以某一項(xiàng)，以統(tǒng)一變?cè)?

類似地,我們還可以處理例2：

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

故

從而

又

sin2α+cos2α=1,

得

(k2+1)cos2α=1,

即

故

從而

3k2-8k-3=0,

得

則

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

解由題意得

即

3a+6b+9c=5(a+b+c),

從而

2a-b-4c=0.

(1)

從而

4a+b+16c=5(a+b+c),

即

a+4b-11c=0.

(2)

由式(1),式(2)解得

a=3c,b=2c,

從而

a∶b∶c=3∶2∶1.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

解設(shè)BM=CM=x,AC=y,則

在△ABM中，由余弦定理得

從而

2x2=y2,

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

(4+k2)x2+8kx=0,

故

從而

設(shè)△ABD的面積為S，則

的形式，然后用基本不等式或者“打勾”函數(shù)來(lái)處理.

教學(xué)建議分式運(yùn)算這一內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)課本中沒(méi)有單獨(dú)地成章成節(jié)，它分布在函數(shù)值域、函數(shù)單調(diào)性、三角函數(shù)求值、方程根的分布、不等式的證明等問(wèn)題中，從高一新課到高三復(fù)習(xí)都占有一席之地.在教學(xué)中，教師應(yīng)對(duì)那些符合學(xué)生思維習(xí)慣、認(rèn)知基礎(chǔ)的通解通法予以高度重視，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)分式運(yùn)算類型的辨析及快速準(zhǔn)確的應(yīng)對(duì)能力.對(duì)于超出學(xué)生思維習(xí)慣、認(rèn)知基礎(chǔ)的特殊技巧，教師可以啟發(fā)式講授，但要深入挖掘其合理性、必要性，力求自然、和諧、水到渠成.