思維碰撞平野闊 方法交匯大江流——對(duì)一道圓錐曲線(xiàn)高考試題的剖析與探究

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(東山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 江蘇南京 211103)

思維碰撞平野闊方法交匯大江流——對(duì)一道圓錐曲線(xiàn)高考試題的剖析與探究

●郭俊

(東山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 江蘇南京 211103)

高考試題凝聚著命題者的心血和智慧，每道試題既體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題的創(chuàng)新原則，又格調(diào)清新、意境幽深.因此一道好的高考試題蘊(yùn)含著很多可探究的素材，若教師能多方引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行剖析、探究，立足于問(wèn)題的本質(zhì)，將加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，提高學(xué)生的思維能力.筆者對(duì)2013年山東省數(shù)學(xué)高考理科卷第22題的第(2)小題和第(3)小題進(jìn)行了全新的審視與研究，獲得6種不同的解法和2個(gè)推廣,現(xiàn)整理如下，供讀者參考.

1 試題再現(xiàn)

(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PF1,PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線(xiàn)PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m，0)，求m的取值范圍.

(2013年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

點(diǎn)評(píng)該題以考查解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法和能力素質(zhì)綜合立意，雖涉及的知識(shí)點(diǎn)多、能力要求高，但入口寬，過(guò)渡自然，解法多，在平和中見(jiàn)新奇，在沉穩(wěn)中見(jiàn)活力，較好地考查了圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，也充分考查了考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想，是一道不可多得的好題.

2 第(2)小題思路探究

思路1根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)——角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的2條邊距離相等，這是學(xué)生最容易想到的解法.

由點(diǎn)M(m,0)到PF1,PF2的距離相等,得

即

思路2根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)——角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的2條邊距離相等，鑒于解法1運(yùn)算量較大，利用參數(shù)法可以減少運(yùn)算量.

解法2(參數(shù)方程法)設(shè)P(2cosθ,sinθ)，依題意得，直線(xiàn)PF1，PF2的方程分別為

點(diǎn)M(m,0)到PF1,PF2的距離相等，故

即

思路3根據(jù)2個(gè)角相等，可考慮利用正弦定理.

解法3由正弦定理得

由sin∠F1PM=sin∠F1MP,sin∠F2PM=sin∠F2MP，得

設(shè)P(x0,y0)，則

從而

思路4根據(jù)2個(gè)角相等，利用向量夾角法，借助向量夾角，把角用坐標(biāo)表示出來(lái)，運(yùn)算量大大減少且解法優(yōu)美.

于是

由∠F1PM=∠F2PM，得

即

亦即

思路5利用三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理——三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)對(duì)邊所得的2條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之比等于這個(gè)角的2邊長(zhǎng)度之比，利用這個(gè)定理可以將解析幾何知識(shí)和平面幾何完美結(jié)合.

解法5設(shè)|PF1|=R1，|PF2|=R2,由橢圓的定義得R1+R2=4，再由內(nèi)角平分線(xiàn)定理得

即

故

圖1

思路6利用光學(xué)性質(zhì)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F1的光線(xiàn)經(jīng)橢圓上的點(diǎn)P鏡面反射后經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)F2，橢圓在點(diǎn)P處的法線(xiàn)即為∠F1PF2平分線(xiàn)所在的直線(xiàn).如圖1，橢圓在點(diǎn)P處的切線(xiàn)l⊥PM.

解法6設(shè)P(x0,y0)，則過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)方程為

因?yàn)椤螰1PM=∠F2PM，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得PM是反射面的法線(xiàn)，所以l⊥PM.當(dāng)PM的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,±2)，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0)；當(dāng)PM的斜率存在時(shí)，由l⊥PM，得kPM·kl=-1，即

從而

通過(guò)對(duì)第(2)小題6種解法的分析(解法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止6種，限于篇幅不再一一展示)，該題是一道“一題多解”的典范，可以從不同的角度、不同的思路進(jìn)行解答，充分地讓不同思維層次的學(xué)生得到發(fā)揮.從試題的背景來(lái)看，6種解法從不同的思路研究了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，頗有“似曾相識(shí)燕歸來(lái)”的感覺(jué).再度深究細(xì)查，原來(lái)曾在2010年安徽省數(shù)學(xué)高考理科卷第19題出現(xiàn)過(guò)：

(1)求橢圓E的方程.

(2)求∠F1AF2的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)l的方程.

(3)在橢圓E上是否存在關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的相異2個(gè)點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出這2個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3 第(3)小題的深入推廣

數(shù)學(xué)家波利亞指出：好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你就應(yīng)當(dāng)在周?chē)乙徽遥芸赡芨浇陀泻脦讉€(gè).問(wèn)題解決后，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生從解決的問(wèn)題出發(fā)，運(yùn)用類(lèi)比、聯(lián)想、特殊化和一般化的思維方法，派生出一些常規(guī)問(wèn)題和開(kāi)放性的問(wèn)題，使問(wèn)題“成片開(kāi)發(fā)”.第(2)小題從不同視角得到不同解法之后，再來(lái)解決第(3)小題：

解由題意可知，l為橢圓的在點(diǎn)P處的切線(xiàn)，由導(dǎo)數(shù)法可求得切線(xiàn)方程為

從而

為定值.

證明設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為y=kx+m.由

得 (b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0,

(1)

從而Δ=4k2m2a4-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)=0,

即

a2k2-m2+b2=0.

于是式(1)可化為(mx+a2k)2=0,得

從而

故

若將上述問(wèn)題中的橢圓改成雙曲線(xiàn)，則同樣可得到類(lèi)似的結(jié)論：

4 對(duì)教學(xué)的啟示

解析幾何問(wèn)題一直是高考的重頭戲，它的解答方法靈活多樣，運(yùn)算能力要求高.在利用代數(shù)方法求解的過(guò)程中，往往會(huì)出現(xiàn)“過(guò)程冗長(zhǎng)、運(yùn)算煩瑣”而令廣大考生“望而生畏、不戰(zhàn)而退”.因此，要更好地解決解析幾何問(wèn)題就要進(jìn)行一題多解，進(jìn)行思維訓(xùn)練.

本文對(duì)一道高考試題從不同角度進(jìn)行深入探究和推廣，把各種解析幾何的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合在一起，活化了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.這將使學(xué)生的思維有效碰撞，促使學(xué)生多角度、多方面進(jìn)行分析、思考，從而產(chǎn)生多種方法，并有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性、深刻性與靈活性.在這個(gè)過(guò)程中，再將多種解題方法交匯在一起，讓學(xué)生認(rèn)清其本源，啟發(fā)學(xué)生的思維，開(kāi)拓學(xué)生的視野，也可更有效地遏止“題海戰(zhàn)術(shù)”，讓學(xué)生在持續(xù)不斷的思考與研究中逐漸接近問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)概念里尋覓解題的靈魂，在數(shù)學(xué)公式中追索真理，在習(xí)題中發(fā)展智慧，這才是我們教學(xué)的真正目的所在！

[1] 王伯龍.對(duì)2012年江西省數(shù)學(xué)高考理科第20題的研究[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(8)：41-43.