數學高考試題是如何考查數學本質的

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(余杭高級中學 浙江杭州 311100 )

數學高考試題是如何考查數學本質的

●曹鳳山

(余杭高級中學 浙江杭州 311100 )

《高中數學課程標準》在評價建議中指出：評價要注重對數學本質的理解和思想方法的把握，避免片面強調機械記憶、模仿以及復雜技巧.《浙江省普通高考考試說明》中要求：數學學科的考試，要發揮數學作為主要基礎學科的作用，既考查中學的基礎知識、基本技能的掌握程度，又考查對數學思想方法、數學本質的理解水平以及進入高等學校繼續學習的潛能.

數學本質是數學的基本問題，是高考數學命題的出發點之一.一般意義上，數學本質包含數學基本概念、數學思想方法、數學特有的理性思維方法以及數學美、數學精神等.數學本質說起來很抽象，但考查很具體，從浙江省自主命題以來，一直關注數學本質的考查，不少試題注重從一個小問題出發，力求體現一個大意境，引導中學數學教與學,關注數學本質的理解，以培養學生的數學素養,提高學生分析問題、解決問題的能力.

本文以2013年浙江省數學高考試題為例，就高考對數學本質考查的特點略作分析，供參考.

1 高考對數學本質考查的特點

1.1 關注概念的理解

數學是由概念、命題組成的邏輯系統，數學概念是現實世界中空間形式和數量關系及其屬性在思維中的反映，是數學地認識事物的思想精華，它蘊含了豐富的創新素材，是數學抽象性的基礎.正確理解數學概念是掌握基礎知識的前提，是學好定理、公式和掌握數學方法、提高解題能力的基礎.“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也”(李邦河院士).考題年年新，概念是其根，變的是形式，不變的一定有對概念的考查.

例1已知e為自然對數的底數，設函數f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2)，則

( )

A．當k=1時，f(x)在x=1處取到極小值

B．當k=1時，f(x)在x=1處取到極大值

C．當k=2時，f(x)在x=1處取到極小值

D．當k=2時，f(x)在x=1處取到極大值

(2013年浙江省數學高考理科試題第6題)

分析本題考查函數極值、極值點、零點的概念以及指數、一次、二次函數的性質，函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，意在考查考生對概念的理解、函數方程思想、數形結合思想以及靈活運用知識的能力.當k=1時，f(x)=(ex-1)(x-1)，明顯地，x=1是函數f(x)的一個零點，當01時，f(x)>0.根據極值的概念，在x=1處取不到極值，排除選項A,B；當k=2時，f(x)=(ex-1)(x-1)2的一個零點是x=1，當01時，都有f(x)>0，由極小值概念，知在x=1處取到極小值，故選C.

涉及極值問題，有些學生習慣性地利用導數運算，心中只有“數”，目中不見“形”，盲目運算的根源在于沒有概念指引，不能利用概念解題，其結果就是舍本逐末、事倍功半.

掌握一個數學概念,不是意味著文字、符號的記憶，而是要理解概念的內涵、外延，理解概念發生、發展的過程，既要把握它的數量特征,又要把握它的幾何特征,“豐滿的”概念形象才能優化解題思路,保證解題正確、快速.

(2013年浙江省數學高考理科試題第16題)

圖1

分析本題考查三角函數的概念、兩角和的正弦公式等知識，考查概念的理解與靈活運用.根據三角函數概念，正弦函數值的直觀意義是:角的終邊與單位圓交點的縱坐標.把△ABC放入單位圓中(如圖1)，因為∠C=90°，所以求sin∠BAC實際上就是求正弦線|BC|的長.依托單位圓中的三角函數線以及直角三角形中的關系可以很快求解.

解記B(x,y)，則

整理得

9x2y2=4x2+y2.

(2)

由式(1)和式(2)得

(3y2-2)2=0，

即

故

本題也可以結合正弦定理求解.問渠那得清如許，為有源頭活水來.概念解題最有力量,深刻理解概念，解題圍繞概念展開思考，在條件的提示下容易形成自然、清晰的思路,是具有生長力的解題模式，使知識體現出解決問題的能力.

2 凸顯數學理性思維的價值

思維能力是數學學科能力的核心.數學思維能力是以數學知識為素材,通過空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明和模式構建等方面,對客觀事物中的空間形式、數量關系和數學模式進行思考和判斷,形成和發展理性思維,構成數學能力的主體.注重學生思維品質的考查，多考一點想，少考一點算，是大家的共識,也是命題的理念之一.試題設計盡可能從某一現實問題或者幾何背景出發，構造出具有素材鮮活、內涵豐富的試題，著力考查數學思維，體現數學本質.

例3在空間中，過點A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ(A).設α，β是2個不同的平面，對空間任意一點P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有PQ1=PQ2，則

( )

A．平面a與平面b垂直

B．平面a與平面b所成的(銳)二面角為45°

C．平面a與平面b平行

D．平面a與平面b所成的(銳)二面角為60°

(2013年浙江省數學高考理科試題第10題)

分析本題考查直線與平面、平面與平面的位置關系的判定與性質，考查二面角的平面角的概念，考查閱讀理解能力、空間想象能力、推理論證能力以及動手操作能力.本題給出的B=fπ(A)等符號課本中沒有定義,不過通過閱讀題目中的文字敘述,就能把握這一概念的本質:函數只是不再是數與數的對應,而是依據位置關系建立的點與點之間的對應.通過設置新的情景考查對函數概念的理解和應用,要求考生通過閱讀、思考、類比，理解概念,把握本質,發揮數學抽象概括的作用,深化原有知識的認識,這是理性思維的具體體現.

例4將A，B，C，D，E，F這6個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有______種(用數字作答).

(2013年浙江省數學高考理科試題第14題)

分析本題考查對排列、組合概念的理解，考查對排列數、組合數公式的運用，考查思維能力以及利用所學知識解決問題的能力.數學充滿思辨性的特點源于數學的抽象性、系統性和邏輯性,邏輯推理是研究數學的基本方法.正確解答數學試題,要求考生具備一定的觀察、分析和推斷能力,不是靠死記硬背和機械照搬來解決問題,而是通過分析條件、探究方向、選擇方法、設計程序等思維活動,合乎邏輯地完成解題的全過程.排列組合問題解法多,技巧多，但是沉迷于技巧最后往往得不償失，最大的技巧就是依據2個計數原理，先特殊后一般，先分類后分步.

不同的思維方式決定不同的解題路徑，所花費時間、解題的精確度就不同，從而顯示出考生不同的思維層次.

3 體現數學思想方法的運用

數學思想方法是程序性知識，解決的是“怎么做”的問題，是數學知識轉化為能力的橋梁.數學思想方法的掌握層次是數學知識素養的重要體現.中學數學思想方法主要包括函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想等.

圖2

( )

(2013年浙江省數學高考理科試題第9題)

點A的坐標為(x0,y0).由題意可得

從而

聯立

解得

又點A在雙曲線上，代入式(3)得

(5)

數形結合思想就是把數量關系問題轉化為圖形性質的研究，或者把圖形性質問題轉化為數量關系.數形結合使抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使問題的解決既直觀又“入微”.在運用數形結合思想的過程中，由“形”到“數”或者由“數”到“形”的轉化都需要自覺的轉化意識和能力，一份數學高考試卷中有一半以上的試題可以通過數形結合解決.

(2013年浙江省數學高考理科試題第17題)

分析本題考查向量的有關概念、運算、求函數最值的方法等，考查轉化與化歸思想、函數與方程思想以及靈活利用知識分析和解決問題的能力.向量是既有大小又有方向的量，問題的解決可以從數的角度入手.根據向量模的定義，有

|b|2=b2,

此外,通過建立直角坐標系，利用坐標方法得

同樣有以上結果.

這里利用向量的有關概念把問題轉化為函數最值，然后將二元函數轉化為一元函數，進一步利用二次函數，通過配方求出函數值域，確定其最大值.在解決相對復雜的問題時，采用某種手段使之轉化，從而化復雜為簡單，化陌生為熟悉，使問題得到解決，這種解題策略就是化歸與轉化思想.解題的過程就是一個縮小已知與求解差異的過程，是未知與已知相互轉化的過程.解每一道題，無論是難題還是易題，基本上都離不開化歸與轉化.例如，立體幾何問題通常要轉化為平面幾何問題，高次問題轉化為低次問題，特別是轉化為一次、二次問題等等.化歸與轉化一般遵循熟悉化、簡單化、標準化、直觀化、統一化等原則.高考試題中基本上每一道題都涉及化歸與轉化思想的運用.

圖3

知識是基礎，思想方法指引方向，使知識表現出解決問題的能力.數學思想方法不是操作程序，沒有具體步驟，需要感悟、理解，但是，沒有數學思想方法就找不到解題方向.基礎題靠知識，中檔題靠思想(方法)，高檔題靠能力，隨著試題難度的上升，數學思想方法的作用會越來越重要.

例7已知a∈R，函數f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)當x∈[0,2]時，求|f(x)|的最大值.

(2013年浙江省數學高考理科試題第22題)

分析本題以三次函數為載體，主要考查利用導數研究函數的性質、二次函數、絕對值等基礎知識，考查函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想以及運算能力、推理論證能力、分析和解決問題的能力.第(1)小題屬常規題，但是要注意解答題的結構，高考試題常常是“階梯形”的，即前面的問題、結論對后面問題的解決有提示作用.實際上，點(1，1)是函數上的一個定點，也就是三次函數的拐點，函數圖像的對稱中心，對后面問題的解決有很大幫助.第(2)小題由于含有字母，確定|f(x)|在[0，2]最大值的過程中，對分類與整合思想的考查十分突出，其中分類標準的確定是重點也是難點.本題中分類標準的確定涉及:(1)按函數的單調性確定；(2)按函數值的正、負號確定；(3)按函數值比較大小確定等.對分類與整合思想考查涉及的試題數量不多，但考查極具深度，這也是近幾年高考試題的一個特點.在確定分類標準過程中，數形結合思想也發揮著重要作用，數形結合為分類提供直觀的提示.作為高考最后一題，在體現通性通法的同時，體現高考選拔性的特點，體現了對中學核心知識的考查深度，突出了數學思想方法的考查，彰顯能力立意(考查運算能力、思維能力和分析問題解決問題的能力)，保證了試卷一定的難度和必要的區分度.

2 高考對數學本質考查對中學數學教與學的啟示

每年拿到高考試卷后，都會聽到不少高三教師的感慨：做了那么多無用功！功夫應該用在什么地方呢？教師應為促進學生對數學本質的理解而教.

促進數學本質的理解的教學要在過程教學上下功夫.如果跳過概念發生、發展的感受，跳過抽象、概括、歸納過程直接給出概念，學生頭腦中最后留下的概念可能就是幾個文字.沒有實際、沒有形象、沒有聯系，用概念解題就是一句空話，認為數學就是一堆無序的符號、圖形，一套莫名其妙的邏輯串在一起的一門無用學科.

促進數學本質理解要在數學概念、數學理性思維、數學思想方法的教學上下功夫.教什么、怎么教都很重要.現實的不少數學課就是數學解題課，教解題沒有問題，數學就意味著解題，問題的關鍵是解題教學到底教什么？教“題型”授“套路”，可以“短、平、快”，在平時應試教育中也可能屢試不爽，不過在規避題型的高考中就會“失效”.而在人的一生發展中，“題型+套路”除了作為“敲門磚”，帶給大多數學生數學枯燥無味、甚至是對數學的厭惡外，可能再沒有其他價值.數學解題教學要體現對概念的理解、體現概念的運用，體現數學內在的聯系，在對比、分析、歸納、概括、一般與特殊等思維體驗中體驗數學的奧妙，體驗思維的價值，提高數學的提出、分析、解決問題的能力.大多數教師也認為數學思想方法的教學很重要，不過，與對基礎知識的“深挖”不同，數學思想方法的教學往往表現為復習最后階段的“貼標簽”.

實際上，數學思想方法教學與概念、定理、公式等相比自然有其特殊性，有自己的規律，在教學上要遵循化隱為顯、循序漸進、主體高度參與等原則，有一定的教學序列：初步滲透、逐漸析出、詳細介紹、合適情境中突出.學生對數學思想方法的學習也不是一蹴而就，學生從朦朧有所感、到理解有所悟、再到識別情境有意識運用，需要教師依據不同的素材，根據學生的層次有意識地創設合適的情境，通過數學思想方法的教學讓學生的知識插上思想的翅膀.教學要為學生的一時考慮，更要為學生的一世著想，數學作為一門主要的基礎學科，在適應高考要求的同時，要為學生一生的發展提供盡可能多的正能量.