函數(shù)與方程思想的應(yīng)用

白保建

摘 要：函數(shù)一直是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)知識(shí)，它貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，而方程也是函數(shù)問(wèn)題的一種特殊形式，所以學(xué)習(xí)中要注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，關(guān)鍵是函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；方程；轉(zhuǎn)化；應(yīng)用

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究.一般的，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷、比較，產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型.具體來(lái)說(shuō)可以這樣去理解：

一、函數(shù)的思想

利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題的思想方法，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決，其本質(zhì)是對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí).

二、方程的思想

在對(duì)方程概念本質(zhì)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程（方程組）或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程（方程組）或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決.

例1.如圖，長(zhǎng)方體物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向做勻速移動(dòng)，速度為v（v>0），雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c（c∈R）.E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：①P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與v-c×S成正比，比例系數(shù)為 ；②其他面的淋雨量之和，其值為 .記y為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量.當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積S= 時(shí)，

（1）寫(xiě)出y的表達(dá)式；

（2）設(shè)0

解：（1）由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為 v-c+ ，

故y= v-c+ = （3v-c+10）.

（2）由（1）知，

當(dāng)0

故y= -15，0

+15，c

①當(dāng)0

②當(dāng)

評(píng)析：這道題由物理意義和幾何關(guān)系構(gòu)造了變量，利用物理性質(zhì)和變量間相互關(guān)系而得到方程，進(jìn)而進(jìn)行轉(zhuǎn)化求出最值和單調(diào)性.

三、方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)

方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，方程f（x）=a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f（x）的值域；函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要.

例2.（2012年高考北京卷文科5）函數(shù)f（x）=x x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】B

【解析】f（x）=x - x的零點(diǎn)，即令f（x）=0，根據(jù)此題可得

x = x，在平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出冪函數(shù)x 和指數(shù)函數(shù) x的圖象，可得交點(diǎn)只有一個(gè)，所以零點(diǎn)只有一個(gè)，故選B.

評(píng)析：這道題就是一個(gè)高考中常見(jiàn)的類型，它把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，在平時(shí)我們遇到這類問(wèn)題就是構(gòu)造一個(gè)方程即：f（x）=g（x），進(jìn)而利用求解或數(shù)形結(jié)合求出方程解的個(gè)數(shù).

我們應(yīng)用函數(shù)與方程思想的幾種常見(jiàn)題型的解決辦法是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)不等式、方程、最值的問(wèn)題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；在含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；在數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)方法解決，這樣的例子很多，在此不做一一表述，只想起到拋磚引玉的作用.

（作者單位 河南省開(kāi)封市第二實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)）