一維FDTD（時(shí)域有限差分）算法求解電磁帶隙結(jié)構(gòu)

溫素燕

摘 要：由兩種介質(zhì)在一維方向上周期性交疊可以構(gòu)成電磁帶隙結(jié)構(gòu)，利用一維時(shí)域有限差分算法求解電磁帶隙結(jié)構(gòu)的透射系數(shù)和反射系數(shù)，得到電磁帶隙結(jié)的電磁波傳播禁帶.計(jì)算結(jié)果表明，一維FDTD算法在數(shù)值求解復(fù)雜電磁結(jié)構(gòu)的電磁波反射和透射問(wèn)題非常有效。

關(guān)鍵詞：電磁帶隙結(jié)構(gòu)；FDTD（時(shí)域有限差分）算法；帶阻濾波器

時(shí)域有限差分（FDTD）是一種有效的電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方.其特點(diǎn)主要有：所需要的計(jì)算內(nèi)存空間與運(yùn)行時(shí)間只與計(jì)算空間的網(wǎng)格數(shù)成正比；可以模擬電磁波在復(fù)雜的介質(zhì)結(jié)構(gòu)中傳播；通過(guò)電磁脈沖源激勵(lì)，一次計(jì)算可以獲得復(fù)雜介質(zhì)結(jié)構(gòu)較寬的頻譜信息等.本文構(gòu)造一種由介質(zhì)平板和空氣平板交迭成的標(biāo)準(zhǔn)電磁帶隙結(jié)構(gòu)，并利用一維FDTD算法模擬了其時(shí)域上的透射波形和反射波形，并經(jīng)過(guò)離散付里葉變換得到對(duì)應(yīng)頻域上的透射系數(shù)和反射系數(shù)，從而可以觀察到電磁帶隙結(jié)構(gòu)的電磁傳播阻帶.

一、FDTD數(shù)值算法

針對(duì)非磁性介質(zhì)的無(wú)源Maxwell方程為？塄×E=μ0 （1），？塄×H=ε （2）

其中，E為電場(chǎng)強(qiáng)度，H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，μ0為真空磁導(dǎo)率，ε為介質(zhì)或空氣介電常數(shù).在一維問(wèn)題中，假設(shè)電磁場(chǎng)分量及介電常數(shù)只與傳播方向z有關(guān)，即 = =0.因此，上面的方程組可以簡(jiǎn)化為 =- （3）， =- （4） = （5）， =- （6）可以看到，方程（3）和（4）耦合在一起，（5）和（6）耦合在一起.選擇其中一組方程構(gòu)成橫電磁波（TEM）沿z軸方向傳播，并采用中心差分方式離散方程（3）和（4），可以得到差分方程組：Hn+0.5y（k）=Hn-0.5y（k）- [Enx（k+1）-Hny（k）]（7）En+1x（k）=Enx（k）- [Hn+0.5y（k）-Hn+0.5y（k-1）]（8）式中Δt為計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)，Δz為空間步長(zhǎng)，二者需滿足的數(shù)值穩(wěn)定條件為：Δt≤ ，其中，V= 為電磁波在介質(zhì)中的最大傳播速度.激勵(lì)源選擇微分高斯脈沖：E（t）=A（？子-t0）exp- （9）式中？子為常數(shù)，其取值越小，微分高斯脈沖的中心頻率越大.

二、計(jì)算模型與結(jié)果

考慮由介電常數(shù)為9.0的介質(zhì)平板和空氣平板（介電常數(shù)近似為1.0）沿z軸方向周期性交疊構(gòu)成的一維電磁帶隙結(jié)構(gòu)，其中介質(zhì)平板共10層，空氣平板共9層.假定電磁帶隙結(jié)構(gòu)的電磁傳播阻帶中心工作波為λ0=0.18m（頻率約為f0=1.67GHz）.標(biāo)準(zhǔn)電磁帶隙結(jié)構(gòu)的中的周期單元結(jié)構(gòu)的波程設(shè)定為0.5λ0，并假定介質(zhì)平板和空氣平板的波程相等，即均為0.25λ0.時(shí)域有限差分?jǐn)?shù)值計(jì)算的網(wǎng)格劃分為：介質(zhì)平板占據(jù)20個(gè)網(wǎng)格，空氣平板占據(jù)60個(gè)網(wǎng)格.為了模擬電磁帶隙結(jié)構(gòu)在真空中的電磁特性，計(jì)算空間兩端設(shè)置了完美匹配層（PML），分別占據(jù)5網(wǎng)格，整個(gè)FDTD計(jì)算區(qū)域占766網(wǎng)格.計(jì)算空間步長(zhǎng)為Δz=7.5×10-3 m，時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=1.25×10-12 m，整個(gè)迭代計(jì)算時(shí)間為25000步.

從頻域透射系數(shù)和反射系數(shù)可以看到，在以中心工作波長(zhǎng)/頻率處出現(xiàn)了電磁傳播禁帶，從而驗(yàn)證了標(biāo)準(zhǔn)電磁帶隙結(jié)構(gòu)的以中心中工作波長(zhǎng)為中心的頻率帶阻電磁特性.

本文采用一維FDTD（時(shí)域有限差分）算法計(jì)算了標(biāo)準(zhǔn)電磁帶隙結(jié)構(gòu)的電磁阻帶特性.數(shù)值計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)電磁帶隙結(jié)構(gòu)相吻合，從而證實(shí)了一維FDTD（時(shí)域有限差分）算法在計(jì)算電磁帶隙結(jié)構(gòu)等復(fù)雜多層結(jié)構(gòu)電磁特性的有效性.

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（作者單位 湖北省利川市第一中學(xué)）