局部化DQ法與MAPS方法的比較

唐德萍，張學瑩

(河海大學理學院，南京 210098)

傳統(tǒng)的數(shù)值解法如有限差分法(finite difference method，F(xiàn)DM)、有限體積法(finite volume mehod，F(xiàn)VM)、有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)等的數(shù)值結(jié)果很大程度上取決于網(wǎng)格劃分的質(zhì)量，因此，在處理復雜幾何問題以及特大變形問題時容易出現(xiàn)網(wǎng)格畸變，嚴重影響解的精度，甚至導致計算失效。為了克服以上缺陷，無網(wǎng)格方法應(yīng)運而生。在眾多的無網(wǎng)格方法中基于徑向基函數(shù)(radial basis functions，RBFs)的無網(wǎng)格法備受矚目。20世紀60年代 Hardy［1］成功地將多重二次函數(shù)(multiquarics，MQ)應(yīng)用于擬合散步數(shù)據(jù)問題。20世紀90年代Kansa［2-3］首次提出利用RBFs求解偏微分方程的思想。不過這些方法中的RBFs具備全局性質(zhì)，因此，由它所形成的系數(shù)矩陣是滿陣，有時甚至是很病態(tài)的，這給處理大規(guī)模問題帶來了諸多的不便。為了改進這些方法，區(qū)域分解法［4］、多重網(wǎng)格法［5］等相繼問世。之后，研究者們將目光轉(zhuǎn)向局部化的無網(wǎng)格方法［6-8］，特別是Shu C等［6］的局部微積分法(local radial basis-functioned differential quadrature，LRBF-DQ)和Chen C S等［7］的局部近似特殊解法(local method of approximate particular solution，LMAPS)。這2種方法不僅操作起來靈活方便，而且還能保證精度方面的要求。鑒于這2種方法的相似性，本文將對這2種方法進行比較研究，并給出誤差分析。

1 2種基于RBFs的無網(wǎng)格方法

1.1 局部RBF-DQ方法

設(shè)f(x)是光滑函數(shù)，其中x=(x1，x2，…，xn)T。已知它在結(jié)點xi及其支撐域內(nèi)各支撐點xj，j=1，…，ni上的函數(shù)值，則f(x)關(guān)于xk的m階導數(shù)可以表示為

其中:xk表示第k個坐標方向表示線性組合系數(shù)。將徑向基函數(shù)φ代入方程(1)中，得到

這里φl(x)=φ(‖x-xl‖)。式(2)還可以化為如下形式:

由文獻［9］知式(3)中的系數(shù)矩陣是條件正定的，故系數(shù)矩陣可逆，從而可以求出系數(shù)，將之代入式(1)就可以求出函數(shù)f關(guān)于xk的m階導數(shù)的近似值。

1.2 局部MAPS方法

由特別解法［10-11］知，u(xi，yi)可以由 ni個 RBFs的線性組合近似:

1.3 方程的求解過程

全文選取MQ函數(shù)作為基函數(shù)，它的表達式為

目前，野生動物棲息地的保護已經(jīng)成為一項非常重要的任務(wù)，為了讓各類野生動物有一個美好的家園，人們應(yīng)該正確樹立保護野生動物的思想意識，不亂砍亂伐，不肆意殺戮，確保野生動物的生存與繁衍。同時，國家應(yīng)該加大對野生動物棲息地的保護力度，安排相關(guān)人員在野生動物保護區(qū)堅守崗地，在未經(jīng)允許的情況下，禁止任何人進入野生動物保護區(qū)，并且倡導周邊的人民群眾一起做好保護野生動物的工作。

其中c是形狀參數(shù)。2種方法的求解過程為:①確定求解區(qū)域點的分布以及支撐域中內(nèi)點的數(shù)量;② 計算組合系數(shù);③利用上一步中已經(jīng)求得的系數(shù)去離散偏微分方程;④求解離散化的偏微分方程。

考慮如下邊界值問題:

其中:Δ 是 線性二階線性 L aplace 算子;α(x，y)、β(x，y)、γ(x，y)、f(x，y)和 g (x，y)是給定的函數(shù)。設(shè){ ( xj，yj)}是區(qū)域 Ω 內(nèi) 的插值點，?(xi，yi)∈Ω，構(gòu)建一個支撐區(qū)域 Ωi，{ ( xj，yj)}是與(xi，yi)相鄰的ni個點，且 { ( xj，yj)}?Ωi。用局部DQ法離散方程(8)和(9)，得

若( xi，yi)??Ω，則有

其中 ωni=［ωi1，ωi2，…，ωini］T。

通過在適當位置添加零元素將wni從局部形式推廣至全局形式，即將向量wni延拓至n維向量wn，其中有n-ni個零元素，詳細的延拓方法參見文獻［7］。從而得到:

用局部MAPS方法離散方程(8)和(9)得

其中:

至于將局部形式推廣成全局形式采用與局部DQ方法的做法，本文就不做贅述。

2 數(shù)值算例

本文考慮均方根誤差(RMSE)、最大絕對誤差(MAE)、最大相對誤差(RAE)。它們的定義為:

算例1 首先考慮二維Possion方程

其中 Ω∪?Ω =［0，1］2。問題的精確解為 u(x，y)=sinπxsinπy。

圖1是LRBF-DQ和LMAPS在不同網(wǎng)格尺寸下關(guān)于形狀參數(shù)c的數(shù)值結(jié)果。觀察此圖，可以驚奇地發(fā)現(xiàn):LMAPS法在c=m時，形狀參數(shù)都趨于穩(wěn)定，而LRBF-DQ法則在此時取得最優(yōu)值。因而不必擔心c的取值，只要取c=m即可。表1則清晰地表明，無論應(yīng)用哪種方法，所取得的數(shù)值結(jié)果都比較令人滿意，并且隨著插值點的增加，所取得的數(shù)值結(jié)果的計算精度越來越高。

圖1 LRBF-DQ和LMAPS在不同網(wǎng)格尺寸下關(guān)于形狀參數(shù)c的數(shù)值結(jié)果

表1 對于不同插值點應(yīng)用LMAPS和LRBF-DQ方法的數(shù)值結(jié)果

算例2 考慮不規(guī)則區(qū)域下的Possion方程問題:

其邊界是一個星型的區(qū)域，具體的表達式為

計算區(qū)域如圖2所示。圖3表明，這2種方法在整個不規(guī)則計算區(qū)域上的相對誤差都是平滑下降的，只是在星型圖形各角處的誤差有跳躍現(xiàn)象。另外，2種方法的計算精度都比較高，局部MAPS法的相對誤差甚至可以達到10-6。

圖2 不規(guī)則區(qū)域下的Possion問題的計算區(qū)域

圖3 nb=200，ns=3 676時局部RBF-DQ法與局部MAPS法得到的相對誤差對比

表2為LRBF-DQ法與LMAPS法的誤差對比，它清晰地表明，無論哪種方法，隨著插值點的增加，計算結(jié)果的精度也越來越高，而且后者的計算速度比前者更快。不管從精度還是從計算速度上來看，LMAPS法都比LRBF-DQ法略有優(yōu)勢。

表2 LRBF-DQ法與LMAPS法數(shù)值結(jié)果的誤差對比

3 結(jié)束語

本文主要介紹了LMAPS和LRBF-DQ這2種方法，它們都具有真無網(wǎng)格性質(zhì)，而且特別適用于解決高維問題。LRBF-DQ利用DQ法直接近似場量導數(shù)，再用RBFs來近似函數(shù)。整個過程中，LRBF-DQ法需要求出各個坐標方向上函數(shù)偏導數(shù)的線性組合系數(shù)，而LMAPS則是利用RBFs的特別解近似問題的數(shù)值解。本文選擇難以處理的不規(guī)則計算區(qū)域上的Possion方程問題來比較LMAPS和LRBF-DQ方法。實驗結(jié)果表明:這2種基于RBFs的無網(wǎng)格方法計算效率都比較高，且能保證精度方面的要求。

［1］Hardy R L.Multiquadric equations of topolography and other irregular surfaces［J］.J Geophysics Res，1971，176：1905-1915.

［2］Kansa E J.Multiquadrics-a scattered data approximation scheme with applications to comutational fluid-dynamics.I.Surface approximations and partial derivative estimates［J］.Comput Math Appl，1990，19：127-45.

［3］Kansa E J.Multiquadrics-a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics.II.Solutions to parabolic，hyperbolic and elliptic partialdifferential equations［J］.Comput Math Appl，2000，39：123-37.

［4］Beatson R K，Greengard L.A short course on fast multipole methods［M］//Ainsworth M，Levesley J，Light W，et al.Wavelets，Multilevel Methods and Elliplic PDEs.Oxford ：Oxford University Press，1997：1-37.

［5］Chen C S，Golberg M A，Ganesh M，et al.Multilevel compact radial functions based computational schemes for some elliptic problems［J］.Computers and Mathematics with Application，2002，43：359-378.

［6］Shu C，Ding H，Yeo K S.Local radial basis function-based differential quadrature method and its application to solve two-dimentional incompressible Navier-Stokes equations［J］.Comput Methods Appl Mech Eng，2003，192：941-954.

［7］Yao G M，Chen C S，Joseph Kolibal，A localized approach for the method of approximate particular solutions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2011，61：2376-2387.

［8］Divo E ，Kassab A J.An efficient localized rbf meshless method for fluid flow and conjugate hear transfer［J］.ASME Journal of Heat Transfer，2007，129：124-136.

［9］Micchelli C A.Interolation of scattered data：distance matrices and conditionally positive definite functions［J］.Constr Approx，1986(2)：11-22.

［10］Chen C S，F(xiàn)an C M，Wen P H.The method of particular solutions for solving certain partial differential equations［J］.Numerical Methods of Partial Differential Equations，2012，28：506-522.

［11］Chen C S，F(xiàn)an C M，Wen P H.The method of particular solutions for solving elliptic problems with variable coefficients［J］.International Journal of Computational Methods，2011(8)：545-559.