從一道多解題看平面向量數量積的求法

平面向量數量積是平面向量一章中的重要內容，也是高考考查的熱點.本文通過一道多解題介紹平面向量數量積的五種解法.

例題，如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD=CD=2，AB=3，O為線段CD的中點，求■·■.

解法一：（定義法）過點O作OH⊥AB于H，△OHB則為直角三角形，其中OH=DA=2.

∵O為線段CD的中點，∴OD=OC=1，

BH=AB-HA=AB-OD=2，∴|■|=■=2■.

在△OHB中，|■|=■=■，

又S■=■AB×OH=■×|■|×|■|×sin∠AOB，

sin∠AOB=■=■=■，∴cos∠AOB=■，

∴■·■=|■||■|cos∠AOB=2■×5×■=2點評：平面向量數量積的公式：■·■=|■||■|cos<■，■>，由定義知，欲求兩個平面向量的數量積只需求這兩個平面向量的模和夾角就可以了，這也是求平面向量數量積最根本的方法.

解法二：（坐標法）在直角梯形ABCD中，∠A=90°，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖所示，則點A（0，0），B（3，0），D（0，2），C（2，2），因為O為線段CD中點，所以O的坐標為（1，2），則■=（-1，-2），■=（2，-2），

∴■·■=-1×2+（-2）×（-2）=2.

點評：題目中有明顯的直角，通過建立直角坐標系，表示出各點的坐標，算出相應的向量的坐標，利用數量積的坐標公式計算出來，簡單易操作，是平面向量數量積的常用求法.

解法三：（轉化法）由已知可得|■|=2，|■|=3，■·■=0

又■=■+■=-■■-■，■=■+■+■=■■-■

∴■·■=（-■■-■）·（■■-■）=-■■■+■■=-2+4=2

點評：在求兩個平面向量數量積時，這兩個平面向量的模和夾角不容易求出時，經常用其他已知或容易算出模和夾角的兩個不共線向量來表示這兩個向量，這樣未知難求的向量數量積就轉化為已知易求的向量的數量積，問題得以解決，也體現了等價轉化的思想.

解法四：（投影法）過點A作AG⊥OB于G，則■在■方向上的投影為■，由解法一可知∠OBA=45°，∴|■|=|■|=■■，

∴|■|=|■|-|■|=2■-■■=■.

∴■·■=■·■=|■||■|=2■×■=2

點評：兩個向量的數量積等于其中一個向量的模乘以另一個向量在這個向量方向上的投影.若容易找到一個向量在另一個向量方向上的投影，運用定義求數量積就會使解題過程簡潔、清新.

解法五：（公式法）取AB中點M，連接OM，則■+■=2■

在直角梯形ODAM中，|■|■=■■+2■=■，

∴■·■=■=■=■=2.

點評：應用公式■·■=■解數量積，有時能達到事半功倍的效果.