基于遷移理論的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)策略

摘 要： 本文在對遷移的理論分析及自己實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐總結(jié)的基礎(chǔ)上，研究如何通過教學(xué)設(shè)計(jì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力，提出在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中設(shè)置“先行組織者”的策略，有效揭示前后知識相同要素策略、類比聯(lián)想策略、知識系統(tǒng)化策略，從而有效提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞： 遷移理論 先行組織者 相同要素 類比聯(lián)想 知識系統(tǒng)化

在新課改的理念下，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力，怎樣進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)才能更好地將知識傳授給學(xué)生，才能對學(xué)生的發(fā)展有幫助，什么樣的教學(xué)設(shè)計(jì)才可以稱得上好的教學(xué)設(shè)計(jì)呢？

基于對遷移的理論分析及自己實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐總結(jié)，筆者形成了如下教學(xué)設(shè)計(jì)策略。

1.有效設(shè)置“先行組織者”策略

先行組織者是認(rèn)知心理學(xué)的代表人物，美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾提出一個教育心理學(xué)的重要概念。根據(jù)奧蘇伯爾的解釋，學(xué)生面對新的學(xué)習(xí)任務(wù)時，如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺少同化新知識的適當(dāng)?shù)纳衔挥^念，或原有觀念不夠清晰或鞏固，則有必要設(shè)計(jì)先于學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)之前呈現(xiàn)的引導(dǎo)性材料，可能是一個概念、一條定律或者一段說明文字，可以用通俗易懂的語言或直觀形象的具體模型，但是在概括和包容的水平上高于要學(xué)習(xí)的材料（因此屬于下位學(xué)習(xí)），構(gòu)建一個使新舊知識發(fā)生聯(lián)系的橋梁，這種引導(dǎo)性材料被稱為先行組織者。

“先行組織者”比將要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容更具有抽象性、概括性和包攝性，以便為學(xué)生即將學(xué)習(xí)的更分化、更詳細(xì)、更具體的材料提供固定點(diǎn)，還有助于學(xué)生覺察出自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新知識有關(guān)的其他知識，提醒學(xué)生主動將新知識與這些知識建立各方面的意義聯(lián)系。

“先行組織者”的概念可以進(jìn)行推廣，發(fā)展為“組織者”。“組織者”可以在學(xué)習(xí)材料前呈現(xiàn)，也可以在學(xué)習(xí)材料之后呈現(xiàn)；在抽象性和概括性上可以高于學(xué)習(xí)材料，也可以是具體的概念，在抽象概括性上低于學(xué)習(xí)材料。

“組織者”是溝通新舊知識的橋梁，這一點(diǎn)很重要，因?yàn)閮H憑認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有起固定作用的概念，并不能保證學(xué)習(xí)任務(wù)具有潛在意義。若要使學(xué)習(xí)有意義，除非學(xué)生主動察覺到它們之間的聯(lián)系。使用先行組織者，有助于促進(jìn)學(xué)習(xí)的遷移，對于需要解決問題的遷移項(xiàng)目有明顯的促進(jìn)作用。

那么在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，該如何設(shè)計(jì)“先行組織者”呢？

（1）教師應(yīng)對教材有整體的把握，教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序必須有序，如在講完函數(shù)后學(xué)習(xí)指對數(shù)函數(shù)、數(shù)列內(nèi)容。在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線，拋物線的知識之后，再學(xué)習(xí)圓錐曲線的統(tǒng)一定義。

（2）教師可創(chuàng)設(shè)問題情境，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，或?yàn)樾轮R介紹有關(guān)的背景知識。如在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的求和時給學(xué)生講述國王給國際象棋發(fā)明者獎賞的故事，由國王是否能兌現(xiàn)承諾引入學(xué)習(xí)的主題；又如學(xué)習(xí)解析幾何前先介紹笛卡兒和解析幾何的背景知識和思想方法。

（3）教師在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)新知識時，可以復(fù)習(xí)與新知識有關(guān)的某種舊知識，以便引出學(xué)習(xí)新知識的話題。如學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì)前可以先復(fù)習(xí)等比數(shù)列的概念，學(xué)習(xí)三角函數(shù)的化簡求值時，可以先復(fù)習(xí)三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，輔助角公式，特殊角的三角函數(shù)值等。

總之，這些都屬于先行組織者的范疇。“組織者”在學(xué)生學(xué)習(xí)較陌生的新知識，缺乏必要的背景知識時對學(xué)生的學(xué)習(xí)可以起到明顯的促進(jìn)作用，有助于學(xué)生理解不熟悉的教材內(nèi)容。

2.有效揭示前后知識相同要素策略

共同要素說的核心思想為：遷移主要有賴于兩種學(xué)習(xí)活動中的共同要素，遷移的實(shí)質(zhì)是兩種學(xué)習(xí)活動中目的觀念、方法觀念、普通原理觀念和基本事實(shí)四個方面的共同分子，即新舊課題共同因素“在學(xué)習(xí)者腦神經(jīng)中的聯(lián)結(jié)”，即只有當(dāng)兩種學(xué)習(xí)內(nèi)容上有共同的元素時遷移才會發(fā)生。反之，如果沒有共同的元素存在，無論所涉及的觀能如何相同，都是不能發(fā)生遷移的。該理論留給施教者的啟示是：教學(xué)過程中有目的地在兩種學(xué)習(xí)和訓(xùn)練間設(shè)立科學(xué)的通路——相同要素，才能有效進(jìn)行學(xué)習(xí)遷移，更有效地增強(qiáng)教與學(xué)的雙邊效果。那么，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時又該怎樣揭示“相同要素”呢？教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)合理地設(shè)計(jì)教學(xué)活動，使教學(xué)的每一環(huán)節(jié)都應(yīng)注意新舊知識的聯(lián)系；教師每時每刻都應(yīng)考慮學(xué)生的已有知識，充分利用已有知識的特點(diǎn)學(xué)習(xí)新知識，促使正遷移實(shí)現(xiàn)。

產(chǎn)生遷移的關(guān)鍵是學(xué)習(xí)者從不同的活動中概括出它們之間共同的原理，為了提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)順向正遷移，教師應(yīng)注意選擇那些刺激強(qiáng)度大，具有典型性、新穎性的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入細(xì)致的觀察，進(jìn)行科學(xué)的抽象和概括，避免非本質(zhì)的屬性得到強(qiáng)化，防止產(chǎn)生順向負(fù)遷移；還應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生對新舊概念進(jìn)行精確區(qū)分、分化，以形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如：等差數(shù)列的概念學(xué)習(xí)后可以繼續(xù)推廣到在一個等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列；所有偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，這就是利用相同要素說進(jìn)行的遷移。類似的，在等比數(shù)列中，也有此性質(zhì)，但它又有使用的條件，即在奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)同號時才成立。若學(xué)生不分析這個性質(zhì)的本質(zhì)特征，注意性質(zhì)成立的條件，很可能就會出現(xiàn)知識的順向負(fù)遷移現(xiàn)象。又如：在學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的前項(xiàng)和以后，請學(xué)生完成下面求和問題：

a+a■+…+a■（a≠0，n∈N）

若學(xué)生不注意討論a的取值，直接使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，就會犯錯誤。再如：在一元二次不等式學(xué)習(xí)中，求參數(shù)的取值范圍，可設(shè)計(jì)如下問題：

（1）函數(shù)y=lg（ax■+2ax-1）的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；

（2）函數(shù)y=lg（ax■+2ax-1）的值域?yàn)镽，求a的取值范圍。

盡管這兩者形式上有些相似，真數(shù)部分都要大于零，但又有本質(zhì)區(qū)別：定義域?yàn)槭侵竌x■+2ax-1>0恒成立；值域?yàn)镽是說ax■+2ax-1要取遍所有大于零的數(shù)。因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)時，既要引導(dǎo)學(xué)生歸納所學(xué)材料的相同要素，又要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們不同之處，更好地促進(jìn)學(xué)習(xí)正遷移。

3.有效采用類比聯(lián)想策略

數(shù)學(xué)中的一個很重要的思想是類比思想，它可以把相似問題進(jìn)行歸類，揭示問題中的共同本質(zhì)，對于問題的解決很有幫助。不同數(shù)學(xué)知識之間是相互聯(lián)系的，如初中函數(shù)知識與高中函數(shù)知識，平面幾何知識與立體幾何知識。此外，不同學(xué)科之間知識也有聯(lián)系，如物理中的矢量與數(shù)學(xué)中的平面向量等，這些聯(lián)系能幫助學(xué)生類比聯(lián)想，產(chǎn)生知識之間共同的要素，以促進(jìn)遷移。因此，在教學(xué)中，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生善于觀察事物之間相互關(guān)系并依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗(yàn)概括、反映事物的本質(zhì)特征，類比聯(lián)想事物之間共同的要素，這樣做能容易產(chǎn)生遷移。觀察越深刻，遷移過程越順利，遷移的效果也就越好。在新課教學(xué)中，根據(jù)教材特點(diǎn)，在傳授新知識時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生，通過類比與歸納得出新的知識，逐步學(xué)會類比推理的方法；在復(fù)習(xí)知識時，經(jīng)常對相關(guān)的知識進(jìn)行類比，培養(yǎng)學(xué)生對相關(guān)知識進(jìn)行類比的習(xí)慣；在解題教學(xué)中，通過類比，引導(dǎo)學(xué)生推廣數(shù)學(xué)命題，或通過類比，探求解題途徑，加深對知識的理解，對數(shù)學(xué)思想方法的掌握；注重使用變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，在單元復(fù)習(xí)或高考一輪二輪復(fù)習(xí)時，采用專題教學(xué)法，以加強(qiáng)學(xué)生對一類問題或方法的理解與掌握；在習(xí)題講評或試卷分析時，采用歸類講評法，將一份或幾份試卷中的同一類問題集中講評，提高刺激強(qiáng)度。例如，在學(xué)習(xí)基本不等式時學(xué)生常會遇到這樣一道題：若正實(shí)數(shù)x，y滿足■+■=1，則x■+2y■的最小值為？搖？搖？搖？搖.這個問題常規(guī)的處理方法是：將兩式相乘，展開以后使用基本不等式，即：

x■+2y■=（■+■）·（x■+2y■）=3+■+■≥3+2■

（當(dāng)且僅當(dāng)■=■時，即x=■，y=■時，等號成立）

在講解這一題時，教師可以設(shè)計(jì)其他與此相似的一類題：

變式1：若a>0，b>0，且■+■=1，求a+2b的最小值.

變式2：若a>0，b>0，且■+■=4，求a+2b的最小值.

變式3：若a>0，b>0，且a+b=1，求■+■的最小值.

變式4：若θ∈（0，■），求■+■的最小值.

以上幾個變題與所講的例題屬于同一類型的問題，將它們放在一起訓(xùn)練，有助于學(xué)生對這一類問題的掌握。

有時候，學(xué)生遇到一個數(shù)學(xué)問題不知如何解決時，教師則要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入細(xì)致的觀察、比較、分析、概括、回憶、聯(lián)想尋找其類似的地方。不妨引導(dǎo)學(xué)生作出如下發(fā)問：

（1）你以前見過形式相近，內(nèi)容稍有不同的問題嗎？

（2）你以前解決過的類似問題，它的結(jié)論是否可以運(yùn)用或推廣？

（3）已有的類似問題的解決方法，能否移植，有否啟發(fā)？

又如2008年全國高考江蘇卷填空題的第9題：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A（0，a），B（b，0），C（c，0），點(diǎn)P（0，p）在線段AO上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)）.這里a，b，c，p均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為（■-■）x+（■-■）y=0，請你完成直線OF的方程：？搖 ？搖？搖？搖（■-■）x+（■-■）y=0.

本題乍一看覺得害怕，有種無從下手的感覺，實(shí)質(zhì)是利用類比推理考查直線方程的求法。由題意可知，E是BP，AC的交點(diǎn)，BP：■+■=1，AC：■+■=1。兩直線方程相減，可得（■-■）x+（■-■）y=0。由此可以類比：F是CP，AB的交點(diǎn)，由截距式可得直線AB：■+■=1，直線CP：■+■=1，兩式相減得（■-■）x+（■-■）y=0，顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程，又原點(diǎn)O也滿足此方程，故為所求直線OF的方程.

所以教師在講解本題時可以設(shè)計(jì)以下問題：

（1）E是哪兩條直線的交點(diǎn)？（E是BP，AC的交點(diǎn)）

（2）由A，B，C，P的坐標(biāo)，你想到什么？（由截距式得BP：■+■=1，AC：■+■=1）

（3）這兩個直線方程與直線OE的方程（■-■）x+（■-■）y=0的形式有何聯(lián)系？（由BP：■+■=1，AC：■+■=1兩個方程相減可得OE的方程）

（4）類似的，你能用此方法求出直線OF的方程嗎？

在這樣的問題設(shè)計(jì)下，學(xué)生能利用解決OE直線方程的辦法類比求出OF的直線方程，但如果對直線方程的截距式不夠熟練及對OE方程形式不夠敏感，不一定會想到設(shè)直線方程的截距式并將兩式相減。因此，教師在設(shè)計(jì)直線方程的教學(xué)時，對學(xué)生要有必要的指導(dǎo)，即根據(jù)題目中的已知條件，設(shè)出合適的直線方程。

又如，高中學(xué)習(xí)過很多種角，如直線的傾斜角，兩條直線的夾角，異面直線所成的角，兩個向量所成的角，直線和平面所成的角，二面角的平面角，它們有各自不同的范圍。如果我們把它們集中到一起，弄清它們各自的定義及它們的區(qū)別和聯(lián)系，就能防止各種負(fù)遷移影響。我們在進(jìn)行類比教學(xué)促進(jìn)遷移時，一定要區(qū)分新舊知識之間共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，允許學(xué)生犯錯誤，讓學(xué)生充分體會到知識的產(chǎn)生過程，老師再強(qiáng)調(diào)不同點(diǎn)，促進(jìn)正遷移、防止負(fù)遷移，最大限度地提高課堂教學(xué)效率。

4.有效促進(jìn)知識系統(tǒng)化策略

奧蘇貝爾的認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論對遷移做了新的解釋：其一，遷移不是孤立在兩個課題A、B之間產(chǎn)生，先前學(xué)習(xí)的不只是A，還包括過去的經(jīng)驗(yàn)，即累積獲得的，按一定層次組織的，適合當(dāng)前學(xué)習(xí)任務(wù)的知識體系。其二，在有意義的學(xué)習(xí)與遷移中，過去經(jīng)驗(yàn)的特征，不是指前后兩個學(xué)習(xí)課題在刺激和反映方面的相似程度，而是指學(xué)生在一定知識領(lǐng)域內(nèi)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織特征，諸如清晰性、穩(wěn)定性、概括性、包容性等。在學(xué)習(xí)課題A時所得到的最新經(jīng)驗(yàn)，并不是直接同課題B的刺激——反應(yīng)成分發(fā)生相互作應(yīng)，而只是由于它影響原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相關(guān)特征，從而間接影響新的學(xué)習(xí)或遷移。其三，遷移的效果主要不是派生類學(xué)習(xí)情境，而是指提高了相關(guān)類屬學(xué)習(xí)、總結(jié)學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)的能力。由此可見，無論在接受學(xué)習(xí)或解決問題中，凡是已形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)影響新的認(rèn)知功能的地方都存在遷移。

新舊知識的相互作用是理解數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵，新舊知識往往是相互依賴、相互影響的。新舊知識之間的轉(zhuǎn)換有一個連接點(diǎn)，它們的相互作用往往圍繞聯(lián)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行，并將新舊知識聯(lián)系在一起，學(xué)生學(xué)習(xí)知識就是了解所學(xué)知識的內(nèi)部聯(lián)系。判斷學(xué)生是否理解所學(xué)知識，就看他是否將所學(xué)知識納入一定的知識體系中，進(jìn)而形成網(wǎng)絡(luò)在大腦中貯存?zhèn)溆谩Ｔ诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中，一方面指導(dǎo)學(xué)生從縱向整理知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生自覺地整理與總結(jié)所學(xué)知識的習(xí)慣，讓他們按自己的體會將數(shù)學(xué)知識縱向地串聯(lián)起來。以函數(shù)為例，在函數(shù)中包含以下知識：函數(shù)的定義域、值域、解析式，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)方程等。另一方面指導(dǎo)學(xué)生從橫向整理知識結(jié)構(gòu)。整理橫向知識結(jié)構(gòu)就是把分散在各個單元的教學(xué)內(nèi)容，密切相關(guān)或解決同一類問題的各種知識與方法加以系統(tǒng)整理，將不同章節(jié)的數(shù)學(xué)知識橫向貫通起來，使學(xué)生在縱橫交錯中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)知識。通過“知識結(jié)構(gòu)圖”的建立，可以進(jìn)行知識間的比較。如函數(shù)與三角函數(shù)、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等。其中，所涉及的典型例題，所蘊(yùn)涵的重要的解題思想方法可以在知識結(jié)構(gòu)圖中體現(xiàn)出來。

教學(xué)中多進(jìn)行知識間的比較，引導(dǎo)學(xué)生不斷梳理所學(xué)知識間的關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識到單個知識的正確理解無疑是需要的，但養(yǎng)成比較的學(xué)習(xí)習(xí)慣，在相互聯(lián)系中學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系更重要。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是把外在的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)經(jīng)過學(xué)生積極的思維活動，轉(zhuǎn)化為他們頭腦內(nèi)部的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，在這個思維活動中，概括扮演重要角色。通過建立“知識結(jié)構(gòu)圖”，揭示數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)形成網(wǎng)狀分布，從而使每個知識點(diǎn)都不是孤立的，而是與其他知識緊密相連。概括后的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)更有序、精練，易于鞏固和掌握，便于記憶和遷移，有利于促進(jìn)形成性能良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

當(dāng)然，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時不僅僅是某一種遷移理論的運(yùn)用，更是對它們的綜合運(yùn)用，做到融會貫通，游刃有余。

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