關于長方體體積公式的證明

摘 要： 長方體的體積等于長乘以寬乘以高，但對于它的證明僅停留在長、寬、高都為整數.本文對此做了補充，并給出長、寬、高為實數的長方體體積的完整證明.

關鍵詞： 棱長 長方體體積 乘積 極限

長方體的體積公式：v=a×b×c，其中a，b，c分別是長方體的長，寬，高.高中立體幾何書把這個公式作為公理來推算體積的基礎，那么長方體的體積公式是怎樣得到的呢？對此，筆者曾作過調查，發現大多數學生不知道，甚至很多數學老師也不以為然.初中教師以學生聽不懂為由，課堂上略講或不講，高中數學教師認為那是初中數學教師的事.所以關于長方體體積公式的教學成為教學中的薄弱環節，長此以往對學生的發展極為不利.

高中《立體幾何》介紹長方體體積公式的時候，首先要單位體積作為標準，然后求出幾何體的體積是單位體積的多少倍，這個倍數就是這個幾何體的體積數值.通常我們取棱長等于單位長度的正方體的體積作為單位體積.對于棱長都是10的正方體可將棱長10等分，過分點向面作平行平面，形成10×10×10個單位正方體，因此它的體積是1000個單位體積.將長、寬、高分別為3、4、5的長方體，用同樣的方法剖分成許多個單位正方體，數一數它們的個數，正好是3×4×5=60個，所以它的體積是60個單位體積.這樣，如果長方體的長、寬、高分別是正整數a，b，c，那么，其體積等于a×b×c.后來，我們把數的范圍擴大到了有理數、實數范圍后，仍然應用這個公式，它的進一步證明很少有人問津.

如果長方體的長、寬、高不是整數怎么辦？比如長、寬、高分別為3.2、4.5、6.7，一個順理成章的辦法就是把體積單位變小.例如，把棱長為0.1的正方體的體積0.001看做單位體積，用上述的方法進行分割，得到許多個小正方體，數一數它們的個數，正是32×45×67個，所以它的體積為0.001×32×45×67=3.2×4.5×6.7.

對于長、寬、高為有理數的長方體，我們總可以選擇適當小的體積單位，將體積分成整數個小單位體積然后數一數，就可以得到長方體的體積公式：體積=長×寬×高.

如果長方體的長、寬、高不是有理數，要計算長方體的體積就不那么好辦了.因為無論將棱長怎么等分，都不可能將其等分成整數個小正方體，由此可以看出用上述方法證明長方體體積公式是有很大的局限性的.我們必須重新尋找一種在實數范圍內都適用的長方體體積公式的證明方法.

要證明長、寬、高為實數的長方體體積，先得作以下幾條規定：第一，長方體的體積與長、寬、高相關，相同的長方體的體積相等；第二，衡量一個長方體的體積要有一個單位；第三，長方體的長、寬、高相互調換，不影響它的體積；第四，如果將一個長方體分割成兩個長方體，原長方體的體積相當于分割后所得的兩個長方體體積之和.

設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，（a，b，c是非負實數），它的體積是a，b，c的一個函數，記為V（a，b，c），V（a，b，c）取非負實數值，并具有下列性質：

（1）V（1，1，1）=1

（2）V（a，b，c）=V（b，c，a）=V（c，a，b）=V（a，c，b）=V（b，a，c）=V（c，b，a）

（3）V（a+d，b，c）=V（a，b，c）+V（d，b，c）

V（a+d，b+e，c）=V（a，b+e，c）+V（d，b+e，c）=V（a，b，c）+V（a，e，c）+V（d，b，c）+V（d，e，c）

現在，我們就長方體的體積的概念出發，推導長方體的體積公式：v=a×b×c

（1）V（0，b，c）=0

∵V（0+0，b，c）=V（0，b，c）+V（0，b，c）=2V（0，b，c）

∴V（0，b，c）=0，即長、寬、高只要有一個為0的長方體體積為0.

（2）設a=n，b=m，c=h，n，m，h為正整數

V（n，m，h）=V（■，m，h）=nV（1，m，h）=nV（■，h，1）=mnV（h，1，1）=mnV（■，1，1）=mnhV（1，1，1）=n×m×h

（3）設a=■，b=■，c=■，n，m，h為正整數

1=V（■，1，1）=nV（■，1，1）=nV（1，1，■）=nV（■，1，■）=nmV（1，■，■）

=nmV（■，■，■）=nmhV（■，■，■）

得到V（■，■，■）=■=■×■×■

（4）設a，b，c∈Q■，a=■，b=■，c=■

V（■，■，■）=pV（■，■，■）=pqV（■，■，■）=pqRV（■，■，■）=p×q×R×■×■×■=■×■×■

這樣，對任何非負有理數a，b，c，都能得到v=a×b×c.

（5）設a，b，c為非負實數.對于任何實數都有兩個有理數列從左右兩邊無限的逼近它.

設有理數列{a■}，{a■}無限逼近a，{b■}，{b■}無限逼近b，{c■}，{c■}無限逼近c.

a■≤a■≤a■≤…≤a≤…≤a′■≤a′■≤a′■

b■≤b■≤b■≤…≤b≤…≤b′■≤b′■≤b′■

c■≤c■≤c■≤…≤c≤…≤c′■≤c′■≤c′■

因為V是非負實數，故有如下結論：

當a■≤a■，b■≤b■，c■≤c■時，V（a■，b■，c■）≤V（a■，b■，c■）

于是有如下不等式

V（a■，b■，c■）≤V（a，b，c）≤V（a′■，b′■，c′■）

因為a■，b■，c■，a′■，b′■，c′■都是有理數，上述不等式可化為

a■b■c■V（1，1，1）≤V（a，b，c）≤a′■b′■c′■V（1，1，1）

即a■b■c■≤V（a，b，c）≤a′■b′■c′■

∵■a■=a，■a′■=a；■b■=b，■b′■=b；■c■=c，■c′■=c

∴■a■·b■·c■=■a′■·b′■·c′■=a·b·c.

即abc=■a■b■c■≤■V（a，b，c）≤■a′■b′■c′■=abc.

由兩邊夾定理得

V（a，b，c）=abc.

因此，對所有非負實數a，b，c都恒有V（a，b，c）=abc成立，這就給出了長方體體積公式的嚴格證明.

以上通過對長方體體積公式的證明過程探究，不僅能使初學者認識長方體體積公式，更能讓他們了解公式的來龍去脈，很好地把握數學思想，為以后進一步學習好數學打下堅實的思想基礎.

數學具有嚴密的邏輯性，教學時盡量不要破壞其嚴謹性，但我們同時要照顧到學生的量力性，數學的嚴謹性往往不能一步到位.這就是數學教師與其他學科教師的不同之處.

總之，長方體體積公式的教學不能只靠某一階段的教學解決問題，而要在數學的全程學習中分步實施，這也是筆者寫這篇短文的初衷.

參考文獻：

[1]人民教育出版社數學室編寫.立體幾何（全一冊）[M].北京：人民教育出版社，1990.

[2]劉玉璉，傅沛仁，等著.數學分析講義（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2003.