各種估計總體標準差方法的誤差分析和比較研究（中）

[摘 要] 全面地介紹了估計總體標準差的7種主要統計方法：貝塞爾公式法（最為常用）、彼得斯公式法、極差法、最大誤差法、最大殘差法、較差法和最大方差法。系統地研究了各種估計總體標準差統計方法的由來和原理，嚴謹地推導出了其標準差系數的計算公式。根據標準差系數大小所反映出的測量精密度高低可分析比較出各種估計總體標準差統計方法的優劣及其適用范圍。

[關鍵詞] 總體標準差；參數估計；無偏估計；系統誤差；隨機誤差；綜合誤差；測量不確定度；自由度；標準差系數

[中圖分類號] O 212[文獻標識碼] A

彼得斯公式法

彼得斯公式法（Peters’ formula method）[1]又稱殘差絕對值估計法，其計算公式為：

彼得斯公式1856年由德國天文學家彼得斯（Christian August Friedrich Peters，1806.09.07―1880.05.08）首先提出。在貝塞爾的指導下彼得斯獲柯尼斯堡（K?nigsberg，原為普魯士王國東普魯士省的首府，1945年德國戰敗后根據波茨坦會議的決定割讓給前蘇聯，現為俄羅斯飛地─加里寧格勒）大學博士學位，1839―1849年他在俄國圣彼得堡的普爾科沃天文臺（Pulkovo Observatory）工作，1849年他晉升為柯尼斯堡天文臺（1810年由貝塞爾創建并出任首任臺長，隸屬于柯尼斯堡大學）的天文學教授，不久后他出任該天文臺臺長職務，其主要成就是確定了天文學常數─章動常數和恒星視差的光行差（光行差現象1725―1728年首先由英國天文學家布拉德雷發現）等。

彼得斯公式法的數學期望和方差分別為：

關于貝塞爾公式法和彼得斯公式法的特點和結論：①貝塞爾公式法適用于方差是正態或非正態任意分布時的情形[2]，彼得斯公式法則只適用于方差是正態分布時的情形，它們均要求樣本數n≥2。②彼得斯公式法經得起數據中夾雜著具有異常傾向的數據的干擾[3]。③貝塞爾公式法運算復雜，彼得斯公式法的運算則相對簡便。④修正后貝塞爾公式法全面優于修正前貝塞爾公式法。⑤當n≤25時，彼得斯公式法優于修正前貝塞爾公式法。Cn（P）-ψBn的最小值出現在n=3時，其最大值出現在n=102時，該值最終趨近于零。⑥當n=2時彼得斯公式法等價于修正后貝塞爾公式法；當n≥3時，后者優于前者。Cn（P）-Cn（B）的最小值出現在n=2時，其最大值出現在n=8時，該值最終趨近于零。⑦當n≤10時，修正后貝塞爾公式法和彼得斯公式法的估計相對效率不低于91.01%，隨著n的增大，其相對效率十分緩慢地下降（n=100和1000時的相對效率仍分別高達87.93%和87.63%）且最終趨近于50%。

文獻[4]中所介紹的所謂“第一種新估計（此處應該是μ為未知）”方法（其自由度為n-1），其實質就是彼得斯公式法，它是σ的無偏估計和相合估計；“第二種新估計（此處應該是μ為已知）”方法（其自由度為n）則只具有漸近無偏性和相合性。

極差法

在討論極差法（range method=extreme difference method）[5-6]之前首先有必要介紹順序統計量。設X1，X2，…，Xn（n≥2）為獨立地抽自總體X～N（μ，σ2）的隨機樣本，把其測量值x1，x2，…，xn按從小到大的順序排列為x（1），x（2），…，x（n）。為簡便起見，記yi=x（i），則y1≤y2≤…≤yi≤…≤yn，且Y1，Y2，…，Yn就是一個順序統計量[7-10]。

對于任意2個順序統計量Yi和Yj（1≤i

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[作者簡介] 朱安遠（1964―），男，湖南邵東人，工學學士（工業電氣自動化專業），高級工程師，高級銷售經理，現任北京金自天正智能控制股份有限公司市場營銷部副部長兼華東區區域經理，主要從事工業自動化（尤其是冶金自動化三電系統）領域的市場營銷和應用工作。近期三大研究主題：低壓變流器電流過載能力指標（關注此事始于1999年）、諾貝爾獎獲獎者（喜好此事源自1981年）和總體標準差的統計估計方法（研究興趣來自筆者1987年對此事的系統性歸納和總結）。業余愛好：數學，自稱諾迷（類似于球迷、郵迷、歌迷或影迷，酷愛研究諾貝爾獎獲獎者且樂此不疲），倡議在國際上創建諾學（類似于中國的紅學）。