從高考試題談解析幾何復習

解析幾何大題在高考中得分率較低，為什么？從客觀上看大題的位置一般在理21文22題，再加上考生答題時間上前松后緊而影響解析幾何題的解答，另外，考試說明中解析幾何對計算的要求也很高。教師對這部分知識該怎么教？教什么？學生應掌握什么？

新課程標準要求在平面解析幾何初步的教學中，教師應幫助學生經歷如下過程：首先將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題；處理代數問題；分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想貫穿于平面解析幾何教學的始終，幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想。這個要求告訴我們解析幾何問題研究的途徑：

幾何問題→幾何結論

↓ ↓

代數問題 → 代數結論

解析幾何研究的方法：

由此可見復習解析幾何要從以下幾個方面下工夫。

一、引導學生以“模塊”形式掌握知識，學會運用“模塊”思維

如（2009全國卷Ⅰ）如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x-4）2+y2=r2（r>0）相交于A、B、C、D四個點.

（Ⅰ）求r的取值范圍；

（Ⅱ）當四邊形ABCD

的面積最大時，求對角

線AC、BD的交點P的坐標.

本題第一問，教師應該引導學生思考什么？

（1）為什么半徑有范圍？因為拋物線是確定的，圓的圓心固定，半徑變化，所以半徑變化時兩圖形的交點個數有無交點到兩個、四個、三個、又到兩個變化過程，所以相交有四個點半徑有范圍。

（2）抓住研究的幾何對象所具有的幾何特征。求曲線交點問題（“形”）如何轉化為（“數”）的問題？幾何特征是什么？由曲線方程的定義可知：兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程的公共實數解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數解；而本題研究的是兩條關于軸對稱的圖形有四個交點的充要條件是它們組成的方程組有兩個不相等的實根，而且是兩個不相等的正實根。

（3）教給學生會恰當準確地用代數方法表示幾何特征。并要特別注意這種“代數化”一定是等價的。本題的代數化的等價形式是什么？

解：略

學生將幾何問題代數化會出現以下幾種情況：

思考一、△>0，思考二、觀察圖象得到△>0和r<4，

思考三、△>0大根<4+r小根>4-r， 思考四：x1+x2>0x1x2>0，

思考五：△>0x1+x2>0x1x2>0，思考六：△>0小根>0，思考七：△>0x=-■>0f（0）>0.

其中思考五、六、七是正確的。本題說明在平時教學時，把基本知識解決方法一定要讓學生形成思維模塊，使學生善于知識遷移和運用思維模塊簡約思維，用敏捷的思維贏得考試的時間，這是創新能力的體現。

反思：復習時必須把方程根的分布放在知識的體系當中去研究它的作用和價值。初中的二次三項式、二次方程、二次函數之間的關系，到高中研究了根的分布，目的就是研究曲線的交點問題，有明顯的思維層次要求。學生能熟練掌握這塊知識就不會出現思考一和思考四的錯誤解法。

二、處理解析幾何題，要教給學生如何“算”

（2010年卷）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點

K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D.

（Ⅰ）證明：點F在直線BD上；

分析：證明點F在直線BD上，用三點共線的方法（思維塊）。

方法一、證斜率相等；方法二、證向量共線；方法三、證點在直線上；方法四：利用距離證明。

本題考查了推理論證和算理、算法，對運算能力的要求很高。處理解析幾何題，學生主要是在“算”上的功夫不夠。在具體處理的時候，要根據具體問題及題意邊做邊調整，尋找合適的突破口和切入點。

高考命題強調知識之間的交叉、滲透和綜合。目前，在教學中一般比較關注教材中有形的、有具體文字描述的東西，即具體的知識內容（陳述性知識），這些具體的知識內容一般都能講清楚，講透、講活，然而，還應當重視對教材中那些無形的、沒有文字描述的東西，即知識之間的內在聯系和思維過程，亦即所謂“程序性知識”的教授。我們知道生活中的諸多問題，并非是唯一因素構成的，其發展變化的過程以及所產生的影響往往涉及很多方面，顯然分析問題和解決問題的角度和條件、辦法等要做多種考慮。強調知識之間的綜合滲透交叉正是這一現象在數學命題中的客觀要求，事實上闡述那些無形的東西比闡述那些有形的東西更重要，也更能體現教師對學生的作用和價值。

三、探討解析幾何的命題趨勢

1.由曲線求方程和由方程研究曲線的性質（包括位置關系）是解析幾何題目的兩個主要類型。

2.題目仍然是朝著與方程、函數、不等式、導數、向量、三角函數結合的趨勢發展。

3.由于解析幾何題目不能跳出上述兩個核心內容，所以許多解析幾何試題都是由我們熟悉的題目甚至是課本例習題演變而來。解析幾何的復習一定先抓課本、抓基本題型。

總之，通過對解析幾何的兩大任務的復習，要體會到解析幾何的思維方法，只有不斷深入地領悟這種思維方法，努力嘗試應用這種思維模式去解決問題，才有可能使得解析幾何的復習落到實處，有所收獲。