讓美由外向內自然滲透

黃彪

【教學內容】蘇教版數學五年級上冊第93～97頁。

【教學目標】

1.使學生在觀察、畫圖、操作的過程中認識圓，知道圓的各部分名稱；了解圓的特征，理解直徑和半徑的關系；學會用圓規畫圓。

2.讓學生在研究圓的過程中感受圓的外在美和內在美，增強問題意識，提高學習能力，并有機滲透極限、對應等數學思想，促進思維發展。

3.通過學習有效溝通數學與生活之間的聯系，提高學生運用所學知識解決實際問題的能力，增強學生對數學學習的興趣。

【教學過程】

一、生活中發現圓，感受外在美

師：同學們，黃老師想邀請大家到我的家鄉——江蘇省揚州市去玩，想去嗎？

師：有兩句詩是這么形容揚州的，“天下三分明月夜，二分無賴是揚州”，就讓我們的揚州之旅從圓圓的月亮開始吧。（伴隨著優美的音樂，分別出示揚州的五亭橋、何園、徐圓、別致的古今玉器、精巧的剪紙作品、玲瓏剔透的漆器等。）

師：從這些畫面中，我們可以清楚地看到一個熟悉的平面圖形——

生：圓！

師（電腦抽象出圓）：圓美嗎？不過大家看到的只是它外在的美，它內在的魅力還需要我們動腦去探尋，用心去感受！

二、數學角度研究圓，探尋內在美

1.研究畫圓

師（出示一個橢圓形的鐘面，見右圖）：請大家看，這是一面鐘，上面有圓嗎？

生1：有，鐘面就是一個圓。

生2：不是，這是橢圓。

師：是的，橢圓和我們今天所要研究的圓很像，但不一樣。那這個鐘面上還有圓嗎？（生搖頭）

師：這個鐘面上真的沒有圓嗎？（邊說邊用電腦演示分針旋轉一圈的動畫）

生（恍然大悟）：分針旋轉的那一圈就是一個圓。

師：這個看不見摸不著，可確實存在的圓到底有多大？你能把它畫下來嗎？（學生有些遲疑，竊竊私語）

師：看來有點困難！沒關系，我想通過今天的學習大家一定能找到方法！

師：這個圓，同學們暫時還不會畫，如果要大家任意畫一個圓，會嗎？用什么畫？

生：圓規。

師：一分鐘試一試！（學生獨立嘗試畫圓）

師（展示學生作品并評析）：應該說，絕大多數同學畫得都很棒。不過，也有失敗的作品。瞧，這個圓畫著畫著就成了兩圈，大膽地猜一猜，可能在哪兒出問題了？

生：可能是畫圓時，圓規兩腳之間的距離變化了。

師：要使圓規兩腳間的距離不變，抓圓規也是挺有講究的，你們知道嗎？

生：要抓住圓規的頂端旋轉。

師：看來你挺有經驗的，那請你給大家介紹一下，怎樣才能成功地畫出一個圓？你來說，我來畫！

生：抓住圓規的頂端，固定針尖，微微傾斜，旋轉一圈。

師（根據學生的描述畫圓，故意將針尖滑掉，并佯作尋找針尖的位置）：黑板太滑了！針尖在哪兒呢？針尖找不到就不能接著畫圓了，怎么辦呢？

生：重新畫！

師：針尖再跑了怎么辦？

生：可以先在針尖處點個點，然后再畫，圓就不會跑了。

師（按學生說的方法畫出一個成功的圓）：這個方法確實管用，剛才沒畫成功的同學也按他說的方法再來畫一畫！（學生再次畫圓，教師指導幫助，確保人人都能成功地畫出一個圓）

2.研究圓心

師：我們剛才畫圓的時候第一步干什么？

生：點個點，固定針尖。

師：看來這個點對圓非常重要，它在圓的什么位置啊？

生：中心。

師：在數學上，我們把這個點叫做圓的圓心，用字母O表示。

（師用粉筆分別在黑板上畫好圓的圓心，在圓外、圓內、圓上找尋一些點，幫助學生認識圓心的點、圓外的點、圓內的點、圓上的點。）

3.研究半徑

師：看一看黑板上的兩個圓，大小一樣嗎？都是用圓規畫的圓，大小怎么會不一樣呢？

生：圓規兩腳之間的距離不同。

師：你能在圓上畫出一條線段來表示圓規兩腳間的距離嗎？（學生獨立嘗試）

師分別展示3個學生的作品（見下圖）：這三幅圖中的線段位置并不相同，都能表示圓規兩腳間的距離嗎？為什么？

生：它們都是從圓心出發，一直畫到圓上。

師：數學上把一端在圓心一端在圓上的線段叫做圓的半徑，用字母r表示。

師：關于半徑，大家還有哪些思考？

生1：我覺得半徑有無數條。

生2：我覺得半徑的長度是相等的。

師：你們的思考是有確鑿的證據，還是只是一種直覺？數學是講理的。我們一個一個來看，看看同學們能不能有理有據地思考問題。

師：先看半徑的長度，同意半徑相等的舉手。你怎么想的？

生1：可以量。

生2：其實根本不用量。因為畫圓時，圓規兩腳之間的距離沒有變，所以半徑的長度當然相等。（學生自發地鼓起了掌）

師：多好的思路！畫一畫、量一量是一種辦法，而借助圓規畫圓的方法進行推理，同樣能得出結論。其實，我們還可以這樣想，如果這些線段不相等，我們畫出來的圓會怎樣？

生1：會是橢圓。

生2：不一定，也有可能是凹凸不平的圖形。

師：到底是什么圖形我們不能確定，但是我們能肯定它不是圓！面對問題，有時順著想不通，反過來想想或許能找到答案！

師（指著黑板上的兩個圓）：大家都說半徑的長度相等，這兩個圓的半徑不相等嘛，怎么回事？

生1：它們不是同一個圓。

生2：在同一個圓或者相同的圓中，半徑才是相等的。

師：那圓的半徑有無數條，你們又是怎樣想的？

生：因為怎么畫也畫不完。

師（出示“畫滿”半徑的圓，見下左圖）：不對呀！我們班一位同學前段時間畫過了，只畫了128條就畫滿了，怎么回事？

生：老師，他畫得太粗了。

師（出示“未畫滿”半徑的圓，見上右圖）：你想得真好，在數學上線是沒有粗細的，但畫的時候可能有粗有細！黃老師后來也畫了，同樣畫了128條，大家看看還可以再畫嗎？

生：可以！

師：大膽地想象一下，如果無限地細下去，半徑有多少條？

生（激動）：無數條！

師：對了，無數條半徑是畫不出來的，但我們可以通過這樣的方法去想象它的存在。

師：既然半徑有無數條，每一條半徑都對應著圓上一個點，這樣的點有多少個？

生：無數個。

師：正是這無數個點緊緊地手拉著手，靠在一起，連接成了一條完美的曲線——圓。

4.研究直徑

師：其實關于圓，我國古代偉大的思想家墨子早在兩千多年前就得出過一個結論。（出示：“圓，一中同長也。”）誰能解釋一下？

生：一中，應該是指圓心，同長是指半徑同樣長！

師：那么，在圓中除了半徑這樣的線段同樣長以外，還有哪些線段是同樣長的呢？（學生疑惑）

師：數學學習光用眼看不行，有時候還需要動手，請大家拿出事先準備好的圓片，折一折，量一量，想一想，或許就能發現！（播放音樂，學生操作，教師巡視）

師：到底還有哪些線段是同樣長的，誰能跟大家說說？你是怎么找到的？

生（邊演示邊說）：我把圓片對折，折出一條線段，然后展開；換個方向對折，又折出一條線段，像這樣多折幾次，每次折出的線段都是同樣長的。

師：嗯，好的！像他這樣做的同學請舉手！（學生紛紛舉手）

師：這樣的線段也很特殊，先給大家介紹一下，在數學上我們把它叫做直徑，用字母d表示。同學們通過對折找到了直徑，黑板上這個圓它的直徑在哪兒，能折嗎？

生：不能折，但可以畫出來！

師：那怎么畫呢，你來說我來畫！（教師故意將直尺擺放在偏離圓心的位置，提筆欲畫）

生：老師，您的直尺放錯位置啦，應該放在圓心上。（教師調整好直尺的位置，并從圓上某點開始畫，畫到圓心時停下。）

生：這是一條半徑，還得繼續往下畫。（教師繼續往下畫，眼看就要畫到圓上時，不露痕跡地停下了筆。）

生：還沒到頭，還得再往前畫一點點。（教師繼續往下畫，就在學生喊“對”時，教師又悄悄地往圓外畫了一小段。）

生：不對！出頭啦。

師：一會兒對，一會兒錯，都被你們弄糊涂了。畫直徑到底得注意些什么呢？

生：直徑得通過圓心，兩端都要在圓上。

師：原來如此！那我想再畫幾條可以嗎？有多少條？

生：無數條。

師：直徑也有無數條，道理與半徑是一樣的，我們就不再研究了。大家都認為直徑的長度是相等的，又是怎么知道的呢？

生：我是量一量知道的。

師：非得要量嗎？

生：每一條直徑里面都有兩條半徑，半徑的長度都相等，那么，直徑的長度當然也都相等。

師：說得真好！在我們眼里，這只是一條直徑，但在他的眼里，還看出了是兩條半徑，真厲害！他的發現還幫助我們獲得了一個新的結論，那就是，在同一個圓里，直徑和半徑是有關系的。誰能說說它們之間有什么樣的關系？

生1：直徑的長度是半徑的兩倍。

生2：直徑=半徑×2。

生3：d=2r。

師：如果告訴你一個圓直徑或半徑的長度，你能告訴我半徑或直徑是多少嗎？（師分別出示半徑3厘米、直徑5厘米的圓，讓學生分別口答出直徑和半徑。）

師（出示兩個大小不同的圓，見下圖）：直徑3厘米，半徑？

[d=3cm][r=？cm]

生：1.5厘米。

（話音剛落，少數同學喊起來：不對！不對！）

師（故作疑惑）：直徑除以2不就是半徑嘛！有什么錯？

生1：兩個圓大小不同，不能確定！

生2：只有“在同一圓內”或者是“大小相同的圓中”，直徑才是半徑的兩倍。

師：通過剛才的學習，同學們還有其他發現嗎？

生1：我發現一條直徑把圓分成相等的兩部分。

生2：我發現圓是軸對稱圖形！

師：是嗎？你是怎么知道的？

生：因為把圓片對折以后兩邊是完全重合的。

師：那它的對稱軸在哪兒呢？

生1（邊演示邊說）：折痕所在的直線就是對稱軸。

生2：我發現圓有無數條對稱軸。

師：無數條？你折過？

生：不用折，因為直徑有無數條，所以圓的對稱軸就有無數條！

師：真好！推理又一次幫我們解決了問題。

三、應用知識解釋圓，領略整體美

師：同學們，學得開心嗎？還記得開始的那個問題嗎？（課件回到上課伊始的那個鐘面，分針再次演示旋轉一圈形成的軌跡）現在你能把這個圓畫出來嗎？

生：能！只要告訴我們分針的長度就可以了！

師：分針的長度也就是這個圓——

生：半徑的長度。

師：黃老師偏要為難你們一下，告訴直徑的長度是5厘米，你們還會畫嗎？試試看。

（學生動手畫圓）

師（分別展示半徑是2.5厘米和5厘米的圓）：哪個圓是對的？

生1：小圓是對的，直徑是5厘米，半徑應該是2.5厘米。

生2：圓規兩腳間的距離應該定為2.5厘米。

師：是啊，圓規兩腳間的距離表示的是圓的半徑的長度，可不能搞錯啊。

師（閃爍鐘面上的橢圓）：我們再來看看這個橢圓，為什么它感覺扁扁的、長長的，現在你能解釋一下嗎？

生：圓上的每一點到圓心的距離都是相等的，而橢圓不具備這一點。

師（出示汽車）：我們生活中大多數汽車的車輪都做成圓形的，誰能說說原因何在？

生：車輪的軸心相當于圓心，它到地面的距離相當于半徑，因為半徑是相等的，所以不管車輪怎么轉，我們都會感覺很平穩。

師：對了！這就是圓內在的魅力。

師（出示圓形的窨井蓋、方向盤、硬幣）：生活中有很多物體都設計成圓形，一定有它的道理，那么圓在其中到底還扮演著什么樣的角色，大家課后可以深入書本、走進網絡繼續探尋！我想，那個時候你們對圓的認識會更加全面、更加深刻！?