利用導數解決圓錐曲線中的切線問題

陳建參

摘 要： 文章認為，根據圓錐曲線特別是拋物線的全部或局部函數性，利用導數求導的方法，可以順利解決圓錐曲線中的切線問題.

關鍵詞： 圓錐切線 函數性 導數 切線斜率

圓錐曲線問題與導數的工具性的交叉滲透，很自然地做了一個知識點和能力上的交匯整合.在2012年的高考題中，總體的體現是題型新穎，難度跨度增大，特別是對考生的運算求解能力的要求提高，但如果能利用好導數，則可以使解題變得簡捷巧妙.

【點評】化拋物線方程為函數形式，根據曲線在切點處的導數即為切線的斜率，從而把點的坐標與直線的斜率聯系到一起，這是寫出切線方程的關鍵.

（I）求拋物線E的方程；

（II）設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相交于點Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.

【點評】本題考查的知識點為圓錐曲線的定義，直線和圓錐曲線的位置關系，以及定值的證明，關鍵是把拋物線方程化為函數形式，利用導數的幾何意義求解.

【點評】開口向左或向右的拋物線方程不是函數形式，但如果只取軸的上方或下方部分，就是函數關系了，利用導數就可以解決相應切線問題.

【點評】該試題出題的角度不同尋常，因為涉及的是兩個二次曲線的交點問題，并且要研究兩曲線在公共點出的切線，是該試題的創(chuàng)新之處.另外，在第二問中難度加大了，出現了另外兩條公共的切線，這樣的問題在我們以后的學習中也是需要練習的.

利用導數求解圓錐曲線的切線問題，關鍵在于設切點求斜率，把解析幾何和導數的工具性結合起來，作為一種思維方式，體現了數學的簡捷、實用和綜合性.