試論高三數學恒成立問題的解法

阿依夏木古麗·夏爾皮

【摘 要】高三數學中的恒成立問題，涉及到一次函數、二次函數的性質、圖象，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：①一次函數型；②二次函數型；③變量分離型；④根據函數的奇偶性、周期性等性質；⑤直接根據函數的圖象。

【關鍵詞】高三數學；恒成立；解題過程

一、一次函數型

給定一次函數y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]內恒有f（x）>0，則根據函數的圖象（直線）可得上述結論等價于

ⅰ）或ⅱ）可合并定成

同理，若在[m，n]內恒有f（x）<0，則有

例1：對于滿足|p|≤2的所有實數p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現了兩個字母：x及P，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關于p的一次函數大于0恒成立的問題。

解略

二、二次函數型

若二次函數y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，則有

若是二次函數在指定區間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數的分布知識求解。

例2：設f（x）=x2-2ax+2，當x∈[-1，+∞）時，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍。

分析：題目中要證明f（x）≥a恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二次函數在區間[-1，+∞）時恒大于0的問題。

解：設F（x）= f（x）-a=x2-2ax+2-a.

ⅰ）當Δ=4（a-1）（a+2）<0時，即-2

ⅱ）當Δ=4（a-1）（a+2）≥0時由圖可得以下充要條件：

即得-3≤a≤-2；

綜合可得a的取值范圍為[-3，1]。

三、變量分離型

若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。

例3：已知當x∈R時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5

要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問題。

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

∴-a+5>3即>a+2

上式等價于

或

解得a<8.

注：注意到題目中出現了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx換元成t，則可把原不等式轉化成關于t的二次函數類型。

另解：a+cos2x<5-4sinx+即

a+1-2sin2x<5-4sinx+，令sinx=t，則t∈[-1，1]，

整理得2t2-4t+4-a+>0，（ t∈[-1，1]）恒成立。

設f（t）= 2t2-4t+4-a+則二次函數的對稱軸為t=1，

∴f（x）在[-1，1]內單調遞減。

∴只需f（1）>0，即>a-2.（下同）

四、根據函數的奇偶性、周期性等性質

若函數f（x）是奇（偶）函數，則對一切定義域中的x ，f（-x）=-f（x）

（f（-x）=f（x））恒成立；若函數y=f（x）的周期為T，則對一切定義域中的x，f（x）=f（x+T）恒成立。

例4：若f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）為偶函數，求α的值。

分析：告訴我們偶函數的條件，即相當于告訴我們一個恒成立問題。

解：由題得：f（-x）=f（x）對一切x∈R恒成立，

∴sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α）

即sin（x+α）+sin（x-α）=cos（x+α）-cos（x-α）

2sinx·cosα=-2sinx·sinα

∴sinx（sinα+cosα）=0

∵對一切x∈R恒成立，∴只需也必須sinα+cosα=0。

∴α=k.（k∈Z）

五、直接根據圖象判斷

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

例5：當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，圖象是拋物線，右邊為常見的對數函數的圖象，故可以通過圖象求解。

解：設y1=（x-1）2，y2=logax，則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），y11，并且必須也只需當x=2時y2的函數值大于等于y1的函數值。

故loga2>1，a>1，∴1