淺談幾何直觀

舒宗騰

【摘 要】幾何直觀是一種特殊的推理方法和思維活動，雖沒有嚴格的邏輯推理，卻往往能將抽象的問題直觀化、可視化。

【關鍵詞】核心概念；幾何直觀；思維定勢

今年我有幸參加了國培計劃（2012）—重慶市農村義務教育骨干教師置換脫產培訓班為期100天的學習，期間，聆聽了參與制定標準的黃翔教授對《義務教育數學課程標準2011年版》的解讀。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了10個核心概念，它們是數感，符號意識，空間觀念，幾何直觀，數據分析觀念，運算能力，推理能力，模型思想，應用意識和創新意識。與《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》相比，在這10個核心概念中，有一些是新增加的：運算能力、模型思想、幾何直觀、創新意識；有一些是名稱和內涵發生變化的：數感、符號意識、數據分析觀念；有一些是保持了原有內涵：空間觀念、推理能力、應用意識。下面結合我的幾個教學實例談談新增的4個核心概念“運算能力、模型思想、幾何直觀、創新意識”中的“幾何直觀”。

幾何直觀是一種特殊的推理方法和思維活動，雖沒有嚴格的邏輯推理，卻往往能將抽象的問題直觀化、可視化。借助幾何圖形的直觀，常常能由圖形之間的關系，感知相應的數量之間的關系，有時能使問題的解決變得直接、簡明。借助幾何直觀研究問題，通常應先把研究的“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關系”轉化為“圖形之間的關系”，從而把所研究的問題轉化為關于“圖形的數量或位置關系”的問題，然后利用圖形直觀進行思考、分析并解決。

例1：某單位在公路一側有3個職工居住在不同地方，上班車應停在何處，才能使3人所走路程之和最短？4人呢？2013個人呢？

利用幾何直觀研究這個問題：把公路抽象為一直線，3個人抽象為3個點，問題就轉化為在線段AC上找一點使之到A、B、C這3個點的距離之和最短。

（1）如圖，設A、B、C為三人所在地，D為汽車停靠點，S為三人所走距離之和

（2）如圖，設A、B、C、D為四人所在地，E為汽車停靠點，S為四人所走距離之和

要S最小，必須使BE+CE最小，所以E選 在線段BC之間（包括兩端點）均可。

同理五個點、六個點乃至更多的點，都可以找到停車點。

例2：某橋長500米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共30秒，而整列火車完全在橋上的時間為20秒，求火車的速度和長度。

這是一個七年級的應用題，一般的初學者有較大困難。這時，讓學生自己在紙上涂一涂，畫一畫，將橋抽象成線段，火車畫成簡筆畫，如圖3，可以比較直觀得到：30秒時間 火車走了一個車身長+500；20秒時間火車走了500—車身長。接下來，設未知數，建立方程組就水到渠成了。

由于幾何直觀沒有嚴格的邏輯推理，所以它的直觀化、可視化也可能產生負面影響，甚至會形成思維定勢。

例3： 如圖4，表示某人從家出發任一時刻到家的距離（s）與所花時間（t）之間的關系，請根據圖象編個故事。

圖4

幾乎近幾屆的學生我都講過，同學們說的故事很多，但抽象出來的運動特征基本上都是：

①在上勻速直線運動；

②在上靜止；

③在上勻速直線運動。

我問為什么“在上靜止？”，學生普遍認為，到家的距離不變，所以是靜止。我說，到家的距離不變就是“到定點（家）的距離為定長（不變）”，這樣的點一定是定點嗎？我順勢給出右圖。學生們都會情不自禁地“哇”，露出我怎么沒想到的神情。

這里的思維定勢在于，面臨“到一定點的距離為定長”的數學情景時，只想到靜止、想不到運動。從知識上看，可能還有“距離”與“路程”的混淆：隨著時間的推移而路程不變，當然是靜止，但隨著時間的推移而距離不變，則可能是靜止也可能是運動。

值得注意的是，這是“一個很普遍的思維定勢現象”，不細心的話，一些學生“也可能會定勢一輩子”的問題。當我再進一步問會有多少種運動方式時，也存在思維定勢現象，也經常“幾乎全軍覆沒”，普遍沒考慮到在圓周上既可以運動又可以靜止，既可以前進又可以來回走動，既可以原路返回又可以另路返回。

這一思維定勢現象在書本或考試題中亦有反映。

這是2003年陜西省的一個中考題，星期天晚飯后，小紅從家里出去散步， 如圖5描述了她散步過程中離家的距離（米）與散步所用的時間t（分）之間的函數關系.依據圖象，下面描述符合小紅散步情景的是（ ）

圖5

（A）從家出發，到了一個公共閱讀欄，看了一會兒報，就回家了。

（B）從家出發，到了一個公共閱讀欄，看了一會兒報后，繼續向前走了一段，然后回家了。

（C）從家出發，一直散步（沒有停留）， 然后回家。

（D）從家出發，散了一會兒步，就找同學去了，18分鐘后才開始返回。

這類試題源于《課標》與教材，設計了生活情景，考察了數學的核心知識——函數，題目的預設答案為（B），然而怎樣否定（C）和（A）呢？

如圖6，前4分鐘沿OP直路勻速向前散步，然后拐彎沿圓弧PQ走6分鐘，再轉彎沿QR向前走2分鐘，最后沿RO走6分鐘直路勻速回到家.這個散步過程是“沒有停留”的。可見（C）不能否定.如果散步不是按原路返回，那么從“公 共閱讀欄”出來，還可以走2分鐘到另一條彎路上，然后沿另一條路6分鐘回到家。這樣一來，（A）也否定不了！可見這道考題是道病題，與選擇題“有且只有一個選項正確”矛盾，但當年數以萬計的師生卻沒有提出異議。試想當年專家們對這題精心預設一下，還會出現這種情況嗎？

由此可見，對新增的幾何直觀這一核心概念在我們今后的教學過程中還需不斷地總結、反思，對有些課還需我們精心預設才能給學生們以精彩的生成，才不至于形成定勢思維。

參考文獻：

《義務教育數學課程標準（2011年版）》