淺談利用幾何圖形構造不等式

杜穎

【摘 要】形象思維是最早出現的，在數學研究和教學中都起著重要的作用。正如前蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”不難想象，一個沒有得到形象思維培養的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學生如果根本不具備數學想象力，要把數學學好那也是不可能的。

【關鍵詞】不等式；離心率；三角函數；判別式

一、利用離心率構造不等式

我們知道，橢圓離心率e∈（0，1），拋物線離心率e = 1，雙曲線離心率e>1，因而可利用這些特點來構造相關不等式求解.

例1已知梯形ABCD中，│AB│=2│CD│。點E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當時，求雙曲線離心率e取值范圍。

所以雙曲線離心率。

二、利用三角函數的有界性構造不等式

曲線的參數方程與三角函數有關，因而可利用把曲線方程轉化為含有三角函數的方程，后利用三角函數的有界性構造不等式求解。

例2 若橢圓x2+4（y-a）2 = 4與拋物線x2=2y有公共點，

求實數a的取值范圍.

分析： 利用橢圓的參數方程及拋物線方程，得到實數a與參數θ的關系，再利用三角函數的有界性確定a的取值情況.

解：設橢圓的參數方程為 （θ為參數）

代入x2=2y 得

4cos2θ= 2（a+sinθ）

∴a = 2cos2θ-sinθ=-2（sinθ+ 14 ）2+ 178

又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

三、利用點與圓錐曲線的位置關系構造不等式

曲線把坐標平面分成三個區域，若點P（x0，y0）與曲線方程f（x，y）=0關系：若P在曲線上，則f（x0，y0）=0；若P在曲線內，則f（x0，y0）<0；若P在曲線外，則f（x0，y0）>0；可見，平面內曲線與點均滿足一定的關系。故可用這些關系來構造不等式解題.

例3 已知橢圓。A、B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（x0，0），證明：。

分析：注意到P（x0，0）為AB的垂直平分線上的點，所以│PA│=│PB│，利用平面幾何性質，A、B在以P點為圓心，│PA│為半徑的圓上，從而把問題轉化為二次曲線的交點關系。

解：由線段AB的垂直平分線交x軸于點P，于是有│PA│=│PB│。

所以A、B在以P（x0，0）為圓心，r=│PA│為半徑的圓上，圓方程為（x-x0）2+y2=r2

又A、B在橢圓上，所以由得：

設A（x1，y0），B（x2，y2），則x1，x2是方程<1>的兩根

四、利用判別式構造不等式

在解析幾何中，直線與曲線之間的位置關系，可以轉化為一元二次方程的解的問題，因此可利用判別式來構造不等式求解.

例4 已知L1與L2是過的兩條互相垂直的直線，且l1、l2與雙曲線y2-x2=1各有兩個交點，求l1的斜率k1的取值范圍。

解：設l1的方程為

代入雙曲線方程并整理得：

由于l1與雙曲線有兩個交點，所以

Δ=8k12-4（k12-1）·（2k12-1）>0，即

又由l2與雙曲線也有兩個交點且l1⊥l2，同理可得

五、利用曲線方程中變量的范圍構造不等式

利用曲線方程中變量的范圍構造不等式例如曲線上的點的坐標往往有一定的變化范圍，如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點P（x，y）滿足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用這些范圍來構造不等式求解，另外，也常出現題中有多個變量，變量之間有一定的關系，往往需要將要求的參數去表示已知的變量或建立起適當的不等式，再來求解.

例5 設點P到點M（-1，0），N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍。

解：設點P的坐標為（x，y），依題設得

即y=±2x（y≠0）<1>

因此點P（x，y），M（-1，0），N（-1，0）三點不共線

所以││PM│-│PN││<│MN│=2

因為││PM│-│PN││=2│m│>0，

所以0<│m│<1，因此點P在以M、N為焦點，實軸長為2│m│的雙曲線上，故

將<1>代入<2>得：

因為1-m2>0，所以1-5m2>0

所以

即m的取值范圍為

上面是處理解析幾何中求參數取值范圍問題的幾種思路和求法，希望通過以上的介紹，能讓同學們了解這類問題的常用求法，并能認真體會、理解掌握，在以后的學習過程中能夠靈活運用。