耀眼的函數(shù)圖象

陳虹

摘 要：函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式的重要武器，也是高考的重要命題內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；圖象；高考題

函數(shù)圖象是高中數(shù)學(xué)的“重頭戲”，是研究函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式的重要武器，已成為每年高考的一個(gè)熱點(diǎn)和亮點(diǎn).

亮點(diǎn)1 識(shí)別函數(shù)的圖象

例1.（2012江西）如右圖，已知正四棱錐S-ABCD所有棱長都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記SE=x（0

■

A B C D

思索：本題直接排除法難度較大，意在考查考生如何求出解析式，正面求函數(shù)圖象.

破解：（1）當(dāng)0

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由SC與該截面垂直知，SC⊥EF，SC⊥EI，∴EF=EI=SEtan60°=■x，SI=2SE=2x，IH=FG=BI=1-2x，F(xiàn)I=GH=■AH=2■x，∴五邊形EFGHI的面積S=FG×GH+■FI×■=2■x-3■x2，

∴V（x）=VC-EFGHI+2VI-BHC=■（2■x-3■x2）×CE+2×■×■×1×（1-2x）×■（1-2x）=■x3-■x2+■，其圖象不可能是一條線段，故排除C、D.

（2）當(dāng)■≤x<1時(shí)，過E點(diǎn)的截面為三角形，如圖2，設(shè)此三角形為△EFG，則EG=EF=ECtan60°=■（1-x），CG=CF=2CE=2（1-x），三棱錐E-FGC底面FGC上的高h(yuǎn)=ECsin45°=■（1-x），∴V（x）=■×■CG·CF·h=■（1-x）3，∴V′（x）=-■（1-x）2，

又顯然V′（x）=-■（1-x）2在區(qū)間（■，1）上單調(diào)遞增，V′（x）<0（x∈（■，1）），

∴函數(shù)V（x）=■（1-x）3在區(qū)間（■，1）上單調(diào)遞減，且遞減的速率越來越慢，故排除B，應(yīng)選A.

亮點(diǎn)2 方程、不等式常用圖象

例2.（2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0lnx（x+1），x>0，若f（x）≥ax，則a的取值范圍是（ ）

A.（-∞，0] B.（-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0]

思索：本題考查的并非分離參數(shù)法解參數(shù)范圍問題.不等式兩邊的函數(shù)圖象均為初等函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題是本題的關(guān)鍵.

破解：畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，觀察到函數(shù)在（-∞，0）時(shí)單調(diào)遞減，在（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增且f（0）=0，又y=ax圖象過原點(diǎn)，當(dāng) 變化時(shí)不難觀察到A答案成立.

亮點(diǎn)3 函數(shù)的性質(zhì)巧用圖象

例3.已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當(dāng)x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2時(shí)，都有■>0，給出下列命題：①f（3）=0；②直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；③函數(shù)x=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)；④函數(shù)x=f（x）在[-9，-9]上有兩個(gè)零點(diǎn).其中正確命題的序號為 .

思索：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、零點(diǎn)等，涉及幾個(gè)性質(zhì)，綜合性很強(qiáng)，解題時(shí)要注意抓住性質(zhì)畫出草圖，便可迎刃而解.

破解：因?yàn)閤1≠x2時(shí)，都有■>0，所以y=f（x）在[0，3]上遞增.因?yàn)閒（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3有f（-3）=0，因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（3）=0，①對.又可得f（x）周期為6，畫出示意圖（草圖）可知②正確，③④不正確，故填①②.

函數(shù)的圖象及其應(yīng)用以其綜合性高成為高考考查的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，它是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、提升數(shù)學(xué)修養(yǎng)、提高數(shù)學(xué)能力的極好素材.復(fù)習(xí)時(shí)注意三點(diǎn)：（1）掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖象的變換，解決函數(shù)問題時(shí)要有“先畫一張圖”的意識(shí)；（2）在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系、結(jié)合圖象研究；（3）在研究方程與不等式時(shí)常用數(shù)形結(jié)合的思想求解.

（作者單位 江西省玉山縣玉山一中）

？誗編輯 陳鮮艷