巧用數學方法 求解物理問題

金錦

俗話說“數理不分家”，數學和物理是具有密切聯系的兩門學科。數學作為工具學科，其思想、方法和知識始終滲透和貫穿于整個物理學習和研究的過程中，為物理概念、定律、原理的表述提供簡潔、精確的數學語言，為物理學的數量分析和計算提供有力的工具，為研究物理問題進行抽象思維和邏輯推理提供有效的方法。數學方法在中學物理教學中有著重要的作用，特別是在求解一些物理問題時，如果能巧妙借助數學中的某些方法，會給我們帶來很多方便。下面筆者就初中物理中的幾個例子，與大家一起探討一下它們的數學解法。

一、利用函數求解物理問題

例1.有一支溫度計的刻度均勻但不準確，將它放入冰水混合物中，示數是5℃；放入標準大氣壓下的沸水中，示數是95℃。若放在空氣中示數是32℃，那么室內實際溫度是_________℃。

解析：這支溫度計的刻度是不準確的，但卻是均勻的，因此這些刻度與真實的刻度之間存在著線性的一一對應關系，即一次函數關系。這里可以把不準的刻度作為自變量x，真實的刻度作為因變量y（倒過來也可以），設兩者滿足關系式y=kx+b①，根據題意可知當x=5時，y=0；當x=95時，y=100（標準大氣壓下冰水混合物的溫度為0℃，沸水的溫度為100℃），代入①式，可求得k=■，b=-■，因此有y=■x-■②。再把x=32代入②式，可求得y=30，所以當它的示數為32℃時，室內的實際溫度為30℃。

例2.某課外興趣小組，將塑料小桶中分別裝滿已知密度的四種液體后，用彈簧測力計稱出它們的重力，記錄了下表中的數據。

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若小桶中盛滿密度未知的某種液體時彈簧測力計的示數為2.3 N，該液體的密度是___________。

解析：根據二力平衡知識可知，彈簧測力計的示數等于液體的重力加上空桶的重力，即：F=G液+G桶。而液體的重力等于液體的質量乘以g，即：G液=m液g。液體的質量又等于液體的密度乘以它的體積，即：m液=ρ液V液。因此F=ρ液V液g+G桶①。由于小桶中的液體每次都裝滿，故液體的體積V液是一個定值，空桶的重力G桶及g也都是定值。令k=V液g（因V液和g都是定值，故它們的乘積也為定值），b=G桶。因此①式變為F=kρ液+b②，此式為F關于ρ液的一次函數。任取表格中的兩組數據（如：第二組和第三組）代入②式，可解得k=1，b=0.8。因此有F=ρ液+0.8③。最后把F=2.3代入③式，可求得ρ液=1.5 g/cm3。

點評：上述兩題的解法巧妙借助了數學中的函數模型。在兩個量之間建立起一一對應的關系，即函數關系。然后根據條件求出函數表達式，最后通過求解出的函數表達式算出結果。此方法避開了傳統方法中的具體分析，直接利用了數學中函數這個工具進行求解，較為方便。

二、利用極值法求解物理問題

例3.在如圖所示的電路中，電阻R1=8 Ω，R2=10 Ω，電源電壓及定值電阻R的阻值未知。當開關S接位置1時，電流表示數為0.2 A。當開關S接位置2時，電流表示數的可能值在 A到 A之間。

解析：要求開關在位置2時的電流范圍，只要把電流用式子表達出來，然后再求解該式子的最值即可。根據歐姆定律，開關在位置2時的電流等于總電壓去除以此時的總電阻（可用R2+R表達），而總電壓（即電源電壓）是保持不變的，它等于開關在位置1時的電流乘以此時的總電阻，即U=I1（R1+R），因此，當開關在位置2時，電流可表達為I2=■=■，把條件代入，可得I2=■，由于此式子的分子分母都在變，因此不好直接求它的最值。此處，需要進行適當的變換，可以先將分子變為常數，即：I2=■=■=■-■=0.2-■，此時我們可求解出該表達式的最值。由于該表達式中I2隨著R的增大而增大，考慮到實際情況，電阻R的值最小為0（取不到），最大為無窮大（要多大就有多大）。因此，當R=0時，I2取最小值，為0.16 A，當R=無窮大時，I2取最大值，為0.2 A。故電流表示數的可能值在0.16 A到0.2 A之間。

點評：此題的解法借助了數學中的極值法。先把要求的物理量用含有數字和字母的式子表達出來。然后將該表達式進行適當變換，根據自變量的范圍，求出變換后表達式的最大值和最小值。此方法在求解時較為嚴密，不過需要一定的數學基礎。

三、利用數學推導求解物理問題

例4.水平地面上豎直放有一實心銅圓柱體，它對水平地面的壓強為p1，在它底部中央開孔后，它對水平地面的壓強為p2。孔的形狀和大小如圖甲所示，其中EFGH為底部孔口。孔的形狀和大小與按圖乙所示對稱切割正方體形成的幾何體的形狀和大小一樣（具體方法是沿四邊形ABFE所在平面和四邊形DCGH所在平面將正方體對稱截去兩塊）。已知正方體中線段AB的長度為圓柱體高的一半，AB=EF=2EH，關于p1與p2大小的判斷，正確的是 （ ）

A.p1

C.p1>p2 D.以上三種情況都有可能

解析：設該實心圓柱體的密度為ρ，高為2a，底面積為S；

則它對水平地面的壓強p1=ρg2a=2ρga；

由題意可知，圖乙中，正方體的體積V正=a3；

又由于圖乙中截去的兩塊恰好可拼成一長方體，其體積V切=a·a·■=■；

則圖甲的體積（即挖去部分的體積）V挖=V正-V切=a3-■=■；

于是圓柱體被挖去之后剩余部分對地面的壓力F剩=G柱-G挖=2ρSag-ρ■g=2ρga（S-■）；

圓柱體被挖去之后剩余部分的底面積S剩=S-■；

所以p2=■=■=■>2ρga；

即：p1

點評：此題的解法直接利用了數學推導，把要比較的兩個物理量各自表達出來。此題在表達挖去孔后的圓柱體對地面的壓強時有一定難度，把它表達出來后，再對它適當變換，最后進行比較得出結果。

以上就是初中物理中一些具體實例的數學解法，有建立函數模型的方法、求函數極值的方法、數學推導的方法。這些數學方法的應用，在解決物理問題時起到了很重要的作用。當然，對于上面的例子，還可以用其他方法，筆者在此著重討論它們的數學解法，希望能對廣大讀者有所幫助。

（作者單位 江蘇省昆山市婁江實驗學校）

？誗編輯 陳鮮艷