例談習題中的“即時定義”問題

田寶國

在一些習題中常常出現“即時定義”問題，這種問題提供了一個陌生的數學情境，新定義一個數學問題（概念），要求同學們通過閱讀材料、感知材料中的信息，正確理解它的含義，從而探索解題途徑.這類問題往往由于其立意新穎，解題思路開闊，不拘泥于具體的數學知識點，而是以問題為中心，將數學知識與方法進行合理結合，體現出對數學能力的考查.這種問題體現了高考要求的“背景新”和“立意新”，所以備受青睞.

解決“即時定義”問題，關鍵是讀懂要求，準確理解題意，弄清“定義”的實質，抓住其本質，不要受我們所熟悉的一些“定義”干擾，問題就會得到很好的解決.

下面通過兩道例題來體會一下這類問題的解決方法：

例1.設f（x）是定義在R上的函數，若存在實數x0，使得f（x0）=x0，那么稱x0是函數f（x）的一個不動點.已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）.

（1）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的不動點.

（2）若對任意實數b，函數f（x）總有兩個相異的不動點，求實數a的范圍.

（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖上A、B兩點的橫坐標是函數 的不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+■對稱，求b的最小值.

分析：本題給出了函數f（x）的“不動點”的新情景，必須深刻理解“不動點”，通過等價轉化才能順利解題.對于（1）、（2）兩小題可轉化為一元二次方程問題來解決.而（3）用幾何角度來理解，可轉化為對稱問題.

解：（1）由不動點定義，有f（x）=x即x2-x-3=x，

解得x=3或x=-1.

故函數f（x）的不動點x=3或x=-1.

（2）因為函數f（x）總有兩個相異的不動點，所以方程ax2+（b+1）x+（b-1）=x恒有兩個相異的實數解，所以Δ=b2-4ab+4a>0（b∈R）恒成立，所以判別式（4a）2-16a<0，解得0

（3）由題意知A、B兩點在直線y=x上，設A（x1，y1），B（x2，y2），

∵A、B兩點關于直線y=kx+■對稱，∴k=1

又∵x1，x2是方程ax2+（b+1）x+（b-1）=0的兩根，

∴A、B中點M（-■，-■）在直線y=kx+■上，

解得b=-■≥-■當且僅當a=■時取等號.

所以b的最小值為-■.

例2.對于定義在區間[m，n]上的兩個函數f（x）和g（x）如果對任意的x∈[m，n]，均有f（x）-g（x）≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在區間[m，n]上是非接近的；現有兩個函數f1（x）=loga（x-3a）與f2（x）=loga■（a>0，a≠1），給定區間[a+2，a+3]；

（1）若函數f1（x）與f2（x）在區間[a+2，a+3]上有意義，求a的取值范圍；

（2）討論函數f1（x）與f2（x）在區間[a+2，a+3]上是否接近.

分析：本題的第（1）小題是我們熟悉的函數問題，而第（2）小題需要根據題目所給出的“接近”與“非接近”的定義，轉化為不等式恒成立問題來解決.

解：（1）依題意有x-3a>0且x-a>0，∴x>3a

∵f1（x）與f2（x）在區間[a+2，a+3]上有意義，

∴3a0） ∴0

（2）f1（x）-f2（x）=loga（x-3a）-loga■=loga（x-3a）（x-a）≤1

即loga（x-3a）（x-a）≤1

∴-1≤loga（x-3a）（x-a）≤1在區間[a+2，a+3]上恒成立

∵0

∴a≤（x-3a）（x-a）≤■在[a+2，a+3]上恒成立

x2-4ax+3a2-a≥0x2-4ax+3a2-■≤0在[a+2，a+3]上恒成立

解得：0

∴當0

當a>■時f1（x）與f2（x）在[a+2，a+3]不接近.

可見，解決“即時定義”問題需要仔細閱讀所給材料，理解題干中所涉及的信息、知識和相關材料，并能跳出傳統的思維定式進行分析、推斷，最終揭示問題的實質.然后轉化成熟悉的知識背景與方法背景來解決.體現了數學思想的價值，借助數學思想完成了“新”與“舊”的統一.

（作者單位 河北省三河市第一中學）

？誗編輯 司 楠