特殊數列恒等式的矩陣證明

陳香蘭

數列是中學數學中一個很重要的知識點，等比數列和等差數列是其中最基本的數列。在實際應用中，還存在著各種各樣的無窮數列。其中有一種被稱為斐波那契數（Fibonacci sequences），記作Fn，由于其本身的特色性，被很多數學家研究。美國數學會還出版了一種季刊——《斐波那契數》（《Fibonacci sequences》），專門刊登對這類數研究的論文。斐波那契數是一種特殊的無窮數列：0，1，1，2，3，5，8，13，…也可以遞推關系定義：

Fn+2=Fn+1+Fn

其中F0=0，F1=1。斐波那契數在現代物理、化學晶體結構、數學各個分支理論研究等方面應用廣泛[2，5]。

盧卡斯數（Lucus sequences）Ln是另外一種無窮數列，可以表示為Ln+2=Ln+1+Ln

其中L0=2，L1=1。作為一種著名的數，盧卡斯數的性質被廣泛地研究。比如，盧卡斯數中的平方數只有1和4，它還與很多數論方面的研究相關，尤其是在解偶次丟番圖方程方面。關于盧卡斯數的一些性質可見[3，4]。斐波那契數和盧卡斯數關系密切，有著相同的遞推關系，只是初始值不同，它們還有其他很多相似的性質。這兩類數還滿足不少恒等式，比如：

Fm+1Ln+FmLn-1=Fm+n （1）

我們可以把等式寫成如下形式：

Ln=FkLn+1-k+Fk-1Ln-k （2）

其中k是整數，且滿足0≤k≤n-1。即

Ln=F1Ln+F0Ln-1=F2Ln-1+F1Ln-2=…=Fn-1L2+Fn-2L1 （3）

矩陣也是高中數學中用得很多的一個概念。矩陣理論在大學數學中也是很重要的知識。矩陣在科學研究計算等各方面應用廣泛。本文通過構造一類矩陣給出等式（1）的另外一種證明。

令A0是一個2×2階的矩陣，表示為

A0=F1-F0Ln-1Ln

我們遞歸地從Ak-1來構造Ak，即

A1=F2-F1Ln-2Ln-1，A2=F3-F2Ln-3Ln-2，和A3=F4-F3Ln-4Ln-3

以此類推，可以驗證

Ak=Fk+1-FkLn-k-1Ln-k

注意到Ak和Ak+1是相等的，所以我們有A0=A1=…=Ak=…利用初始條件F0=0，F1=1和行列式的定義，可得

A0=Ln=F1Ln+F0Ln-1=A1=F2Ln-1+F1Ln-2=…=Ak=FkLn-k+1+Fk-1Ln-k=…

也就是等式（2），證明完畢。

數列和矩陣，看似兩個不同的概念，實際上，它們之間也有著密切的聯系。同樣的，對于其他概念也是一樣。所以，弄清楚數學中不同概念之間的關系，加深它們之間的相互滲透，也是學好數學的一種方法。

參考文獻：

[1]王萼芳，石生明.高等代數[M].高等教育出版社，2003.

[2]高山珍，葉靜.Lucas數列的幾個性質[J].貴州大學學報，2002（04）.

[3]朱慶喜.盧卡斯（Lucas）數列若干問題研究[D].福建師范大學，2009.

（作者單位 福建省永定縣第一中學）

編輯 司 楠