新課改下向量應用的探究

王超

摘 要：高中數學新教材增加了向量知識，向量具有幾何和代數的雙重形式和特征是溝通代數和幾何的橋梁，為解決和處理中學數學中的問題增添新的方法，因此有必要理清向量與平面幾何、三角、解析幾何、立體幾何、數學模型等的關系.

關鍵詞：幾何；解析幾何；三角；模型

一、向量與平面幾何的關系

平面幾何是學習平面向量的重要載體，沒有平面幾何這一載體，學生很難理解平面向量的一些概念.同時由于向量可以用有向線段表示，這就為用向量解決平面幾何問題創造了條件.牢牢把握向量與平面幾何的關系，一方面應用向量加減法三角形法則與平行四邊形法則、向量的模、向量的平行與垂直等幾何意義解決問題；另一方面結合平面幾何知識解決向量問題.

例1.（05年浙江高考題）已知向量a≠e，e=1，對任意t∈R，恒有a-te≥a-e，則（ ）

A.a⊥e B.a⊥（a-e） C.e⊥（a-e） D.（a+e）⊥（a-e）

解：如圖1，設O，A為定點，■=a，■=e，■=te，t在變，te也在變，即點P為動點，但■=t■，恒有■∥■，故O，P，H三點共線.因而a-te表示■的模長，a-e表示■的模，對任意的t∈R，恒有a-te≥a-e成立，表示■≥■恒成立，所以恒有■⊥■，即e⊥（a-e），選C.

點評：解利用向量的減法的幾何意義和向量平行的充要條件，運用數形結合、動靜結合等思想把向量問題轉化為幾何問題，非常直觀地找到了答案.

二、向量與解析幾何的關系

由于向量的坐標化使向量與解析幾何建立一定的聯系，也改變了解析幾何中的一些傳統研究方法.由于向量內積的幾何幾何意義，即向量投影等概念，可以用來解決點到直線的距離.向量坐標表示方法使方程思想有了更廣泛的應用，應用向量內積還可以解決兩條直線夾角等問題，大大簡化了解析幾何中的計算.但值得一提的是新教材中定比分點定理和兩條直線的夾角公式，它們是傳統教材的難點問題，向量的引入可以廢除這兩個公式的“武功”，既減輕了學生的學習負擔，又培養了綜合應用數學的能力.

例2.（2009全國卷Ⅱ理）已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的右焦點為F，過F且斜率為■的直線交C于A、B兩點，若■=4■，則曲線C的離心率為（ ）

A.■ B.■ C.■ D.■

解：設雙曲線C：■-■=1的右準線為l，過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直線AB的斜率為■，知直線AB的傾斜角60°，∴∠BAD=60°，AD=■AB，

由雙曲線的第二定義有：

AM-BN=AD=■（■-■）=■AB=■（■+■）.

又∵■=4■

∴■·3■=■■∴e=■.故選A.

評析結合了向量的模的幾何意義和雙曲線的知識解決問題.

三、向量與立體幾何中的關系

在選修2-1引入了空間向量，它的引入為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具，將復雜繁瑣的立體幾何問題轉化為簡單的代數計算問題，進一步闡釋了幾何與代數之間的聯系.

例3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以AC的中點O為球心、AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N.

（1）求直線CD與平面ACM所成的角的大小；

（2）求點N到平面ACM的距離.

解：（1）如圖2所示，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；設平面ACM的一個法向量n=（x，y，z），由n⊥■，n⊥■可得：

2x+4y=02y+2z=0，令z=1，則n=（2，-1，1）.設所求角為α，則sinα=■=■，

所以所求角的大小為arcsin■.

（2）由條件可得，AN⊥NC.在Rt△PAC中，PA2=PN·PC，所以PN=■，則NC=PC-PN=■，■=■，所以所求距離等于點P到平面ACM距離的■，設點P到平面ACM距離為h，則h=■=■，所以所求距離為■h=■.

點評：應用向量數量積的知識，將立體幾何線面角轉化為直線方向向量與法向量的夾角，點到面得距離轉化■在平面法向量n的投影，充分應用了向量的幾何意義.

四、向量與三角的關系

用向量方法可研究解析幾何中兩直線夾角問題，用向量方法還可研究三角形中有關角的計算（包括垂直問題）和三角公式、余弦定理的推導.與傳統比較，向量方法簡潔明了，構造思想對培養創新思維很有價值.向量作為一種新的運算工具，常常與三角結合起來，廣泛應用于解決三角問題.

例4.（2010年四川高考題）（Ⅰ）1證明兩角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

2由Cα+β推導兩角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

（Ⅱ）已知△ABC的面積S=■■·■=3，且cosB=■，求cosC.

解（1）①如圖3，在直角坐標系xoy內做單位圓O，并作出角α、β與-β，使角α的始邊為OX，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于P3；角-β的始邊為OP1，終邊交⊙O于P4.

則P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））.

P1P3=P2P4及兩點間的距離公式，得

[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2

展開并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

②由①易得cos（■-α）=sinα，sinα（■-α）=cosα.

∴sin（α+β）=cos[■-（α+β）]=cos[（■-α）+（-β）]=sinαcosβ+cosαsinβ.

（2）由題意，設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c，

則S=■bc sinA=■■·■=bc cosA=3>0

∴A∈（0，■），cosA=3sinA.

又∵sin2A+cos2A=1，∴sinA=■，cosA=■.

由題意，cosB=■，得sinB=■，

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=■，

故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-■.

點評：應用向量的坐標表示和內積運算及兩點間的距離公式，推導出兩角和的余弦公式，比傳統方法更加簡潔明了、簡單易懂，充分體現了向量的工具性.

五、向量與數學模型的關系

由于向量具有明顯物理背景和幾何特征，而且具有形式特征，這就為向量與某些數學模型發生了聯系.如向量a=（x，y）的模等于■向量數量積的定義等都具有模型特征，所以只要具有類似特征的問題，都可以轉化為向量問題來解決.

例5.已知a、b∈R+，a+b=1，求證：■+■≤2■.

證明：設m=（1，1），n=（■，■），

則m=■，n=■=2

由性質m·n≤m·n，得■+■≤2■

點評：本題利用■與向量模的結構上的類似而構造向量，然后利用向量數量積的模小于向量模的積來解決問題.向量不等式“m·n≤m·n”也是解決不等式的重要工具，是實現由等到不等的重要手段，在求最值中經常用到.由于向量具有雙重特征，向量的表示方法多樣，因而向量解決問題方法也多樣.向量的應用應該不拘于幾何特征和代數形式，從不同的角度抓住不同的特征得到不同的方法解決問題，可見異曲同工之妙.

參考文獻：

[1]祈平.課標要求下向量及其教學的一些思考和建議[J].中學數學，2008（12）.

[2]耀世虎.從一道立體幾何題談向量的應用[J].教學文匯，2009（01）.

（作者單位 四川省綿陽外國語學校）

？誗編輯 司 楠