感知數學思想，做好因式分解

沈彬

摘要：數學教師在引導學生學習的基礎上，幫助學生感知數學思想和文化，在學習數學中感受數學文化，用數學思想指導自己的學習和實踐。本文結合因式分解教學，運用類比思想，幫助學生舉一反三；指導學生結合分類思想，學會分門別類；利用轉化思想，做題化繁為簡；立足整體思想，考慮局部換元，操作性強，效果好。

關鍵詞：數學思想；因式分解；實踐

中圖分類號：G427文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）09-029-2

數學既是一門科學，又代表著一定思想和文化，數學教學不僅要教會學生計算做題，引導學生思維，還應教會學生感知數學思想和文化。新的課程標準明確提出，教師在教學過程中一定要注重學生數學知識與技能、數學思想與方法的培養，教會學生在學習數學中感受數學文化，用數學思想指導自己的學習和實踐。筆者結合多年初中數學教學實踐，結合因式分解知識教學，探討一下如何結合用數學思想做好因式分解試題。

一、運用類比思想，學會觸類旁通

康德有一句非常的有名的話：每當理智不能找到可靠的論證思路時，類比這種手法總能帶我尋找柳暗花明。科學都具有很強的規律性，類比就是利用科學的規律性特征，引導人們尋找模塊規律，因式分解結合數學的類比思想，既能夠幫助學生更好地理解和構建知識體系，又能夠幫助學生舉一反三，觸類旁通，引導學生思路，提高他們做題的速度和能力，培養學生創新思維。

例如，在講因式分解時，教材介紹幾種較為常用的分解方法，其中最為重要的就是提取公因式法與公式法，比如平方差、完全平方公式等。為了讓學生更好地理解因式，首先讓學生明白此前學過的因數分解，比如，把整數24進行因數分解就是2×3×4，2、3、4就是整數24的因數，與之類比，a2-b2就是（a+b）·（a-b），因此，多項式a2-b2就可以分解為（a+b）·（a-b），由此，可以判斷（a+b）、（a-b）都是a2-b2的因式。

這樣，學生就會明白因式分解就是因數分解的變形，學生也就明白了因式分解的意義，引導學生感知有數向式的變化發展過程，是思維由特殊現象到一般規律的體現，既能夠讓學生明白因數分解與因式分解，通過類比，學會觸類旁通，舉一反三，又能真正理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。

二、應用分類思想，學會分門別類

數學現象與數學變化可謂千變萬化，萬變不離其宗，總會表現為不同的類別；初中數學因式分解試題猶如恒河沙數，但是，同樣表現為幾種不同的類型。對于很多的多項式來說是不能直接提取公因式的，也不能直接運用公式法，但是這些總會表現為不同程度的類同，對他們進行分門別類，就可以提取公因式或者運用公式法了。教學中需要教會學生根據數字與符號的相似相關性，進行合理分類，從而快速因式分解。

例如，有這樣一道試題，因式分解8ax-4ay+2bx-by，這個多項式，既不能直接提取公因式，有無法直接用公式，但是，通過分析比較，很容易找出8ax-4ay有數字和符號的類同，可以提取公因式4a，得出4a（2x-y），而2bx-by有字母符號的相同，可以提取公因式b（2x-y），然后在進行提取公因式，于是，這個多項式就可以分解為（4a+b）（2x-y）。當然也可以根據公式法應用分類思想，比如，將9m2-6m-4n2+1進行因式分解，這也是個無法直接提取公因式和運用公式法的多項式，但是，可以結合公式法進行分類，把這個多項式分類，（9m2-6m+1）-4n2，這樣，就可以運用公式法進行分解，首先應用完全平方公式，（9m2-6m+1）=（3m-1）2，再和-4n2組合應用平方差公式9m2-6m-4n2+1=（3m-1）2-4n2=（3m+2n-1）（3m-2n-1）。

數學中的分類思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類思想的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。運用這種思想，學生具有整體意識，能夠根據常用的因式分解法對多項式進行歸類分組，讓分解過程更為簡潔。

三、利用轉化思想，做題化繁為簡

在數學教學過程，學生根據數學的加減乘除等基本方法，按照一定的條件將一種現象轉化為另一種表現形式，在保證整體不變的前提下，對多項式的進行一定的變形轉化，從而把多項式轉化為符合基本分解方法的操作形式，進行因式分解，實現化繁為簡，化難為易，巧妙解決分解問題。因此，初中數學教學過程中，教師需要引導學生根據試題特點進行靈活轉化，圍繞基本的加減乘除法，對原式進行合理轉化，使之更加符合因式分解的最為基本的形式，運用公式法或提取公因式法。

例如，有這樣一道試題：20132-20122，按照常規方法，是計算每一個數的平方值，然后相減。學過因式分解后，就可以把這個計算轉化成公式法因式分解，（2013+2012）（2013-2012）=4025，非常快速準確地計算出結果。

再比如，將下面一個多項式進行因式分解：9x2+6x-3。常規算法是提取公因式，但是僅靠提取公因式是不能解決問題的，提取公因式法之后，還要運用十指相乘法，這樣的跳躍對很多基礎或者程度不好的學生有一定的困難，同時，十字相乘法一方面學生不容易看出，同時，學生在做題過程中也往往會選錯正負號。這時，教師就可以引導學生運用轉化思想，基本的加減乘除一般不容易算錯，且轉換后用的都是最為基本的公式法，比如這道試題就需要在整體不改變的情況下，利用加減法進行變形，把-3變成1-4，將原式轉化9x2+6x+1-4，這樣，在利用上例中的分類思想，進行分類，利用公式進行分解：（9x2+6x+1）-4=（3x+1）2-22=（3x+3）（3x-1）=3（x+1）（3x-1）。

這樣，利用轉化思想，把原本復雜的多項式轉化成直接運用公式的形式，這樣，學生可以有效解決問題，因此，在教學中，教師要多多引導學生不斷運用轉化思想，使問題簡潔化，只要學生有這種意識，思維會在實踐中變得更為靈活，學生對問題的認識可以不斷加深，解題能力可以得到顯著提升。

四、立足整體思想，考慮局部換元

做因式分解這類試題應具備這種宏觀和整體思想，要能從宏觀審視，在細節入手，整體把握，局部優化。尤其對于結構較為復雜難辨的多項式進行分解，如果把某些局部看做一個整體處理，多項式的結構就會更加簡潔明朗，問題由繁變簡，很容易進行因式分解，這就是整體思想。教學過程中，教師一定要在在引導學生做題的基礎上，培養學生的整體思想，引導學生局部換元，化繁為簡，降低做題難度，提高正確率。

例如，把（x2-2x）2-2x（2-x）+1分解因式。

分析：先把-2x（2-x）化為2（x2-2x），再把（x2-2x）看作一個小個體進行局部換元，設（x2-2x）=m原式就變成了m2+2m+1=（m+1）2。

解：原式=（m+1）2=[（x2-2x）+1]2=（x2-2x+1）2=（x-1）4。

再如，請將下面這個多項式因式分解：x4（x2-y2）+y4（y2-x2）。

分析：這個試題有一定難度，學生平時見到的試題一般都是最高3次方，但是這道試題不去括號就已經是4次方，如果去掉括號，就變成了6次方了，學生更加感到無從下手，這時，運用整體思想，因為，這個多項式中最小的也是2次方，同時，從整體上看，都是關于（x2-y2）的，（x2-y2）看做a，就會簡單很多。簡單許多，就變成了最多3次方了。試題就容易多了。

解：原式=（x2-y2）（x4-y4）

=（x2-y2）[（x2）2-（y2）2]

=（x2-y2）（x2-y2）（x2+y2）

=（x+y）2（x-y）2（x2+y2）

這樣，本題就可以得到快速解決，因此，在教學中，教師要善于引導學生培養整體思想，使學生在實踐中能夠學會運用整體思想并通過局部還元的方式解題，化難為易，化繁為簡，讓看似繁瑣的試題變得簡潔，這樣，不僅對于學生解答因式分解題有巨大的幫助，對于解答其他數學問題同樣具有積極的意義，對于發展學生的數學思維，提高學生的解題能力，促進學生思維的發展具有重要作用。

總之，數學教學既是在給學生以知識和能力，又是在傳播一種思想和文化，教會學生在做題中感知數學思想，用數學思想指導數學學習，培養學生發散性思維，鍛煉學生靈活思維、創新思維，全面發展學生的綜合能力。

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