如何妙學垂徑定理

李朝碧

摘 要：學習任何知識，激發學生學習積極性是最重要的。學習某種定理首先要理解，隨后巧妙記憶，最后加以運用。

關鍵詞：垂徑定理；積極性；理解；記憶；運用

學好垂徑定理是學好圓的關鍵，對農村學生來說，要學好垂徑定理，所花費的時間和精力就要比別人多得多。他們不能通過大量的資料查找，只能仔細地觀察生活，從生活中提煉有關垂徑定理的知識，并用于指導他們學會更好地生活。通過多次的學習與交流，我總結出了農村學生學好垂徑定理的小小妙招。

一、激發學生的學習積極性

觀察現實生活中與垂徑定理有關的事物，組織編題，并提問，從而激發學生的學習興趣，讓他們愿意思考，勇于探索。例如，某地（當地地名）有一石拱橋是圓弧形，正常水位下水面寬是50 m，水面到橋拱的距離為12 m，每年端午節可能漲水，漲水時，水面到拱橋的距離不能低于2 m，否則就要采取應急措施，如果今年漲水時水面寬為25 m，請問是否要采取應急措施。這是學生生活中可能會遇到的問題，所以許多學生都會思考到底用什么知識來解答。遇到這樣的問題可以讓學生積極地交流、討論。經過討論，學生得出好幾種實用的解決辦法。

比如，（1）在拱橋中央用一根2 m長的竹竿去測。（2）在拱橋中央吊一根2 m的繩索去測，繩索接近水面的一端固定重物。學生各抒己見，與此同時我們要考慮拱橋足夠高時又該怎么辦，因此我也和學生交流一下我的方法（可以利用這個理論知識解決半徑足夠長時的圓的問題）：要求當漲水時，水面寬為25 m時是否采取應急措施，只要求出橋拱到水面的距離。當這距離小于25 m時，則無需采取應急措施，因此只有求出橋拱的半徑R，然后運用幾何代數式解求R。解：不需要采取應急措施。設橋拱的半徑為R，則：R-（R-12）=25，解得R=32。當拱橋與水面距離為2 m時，水面寬應為2×32-（32-2）=24。∵25>24∴當水面寬為25 m時，水面與橋拱距離大于2 m，無需采取應急措施。

二、引導學生正確理解垂徑定理

垂徑定理是由圓具有對稱性引申而來的。講解垂徑定理要先讓學生復習弦、弧、直徑、軸對稱圖形的性質，特別是對稱軸垂直平分對應點的連線段。由對稱軸垂直平分對應點的連線段引申到弦、弧、直徑的關系。具體操作如下：①在紙上畫一圓，標明直徑AB；②沿AB對折，在兩半圓上任找一重合點記為C與D；③打開，連接C、D；④把AB和CD的交點記作E，圓心記為O，根據軸對稱圖形的性質可知AB垂直平分CD，通過實際操作得AC與AD重合，BC與BD重合，CE與DE重合，由此可得出：若AB是直徑，且AB⊥CD，則AC=AD，BC=BD，CE=DE。描述為：垂直于弦的直徑平分弦所對的兩弧（優弧和劣弧）。題設：圓的直徑垂直于弦。結論：弦被直徑平分，弦所對的兩條弧也被平分。

三、巧妙記憶，推出垂徑定理的推論

垂徑定理包含五點內容：①過圓心的直徑；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧。其中任取兩個作為題設，另外三個作為結論都是成立的。例如，已知平分于弦的直徑，垂直于弦并且平分于弦所對的優弧和劣弧。

四、運用所學解決問題

在運用垂徑定理解決問題時，我們往往會發現：

1.圖形在變化，因此我們就必須掌握它有哪些變式？

①求平行弦之間的距離（弦在直徑的同側或異側）。例如，把兩根很直的木棍平行放在簸箕里，已知木棍的長度分別是1.2 m和0.8 m，而簸箕的半徑為1 m。問：這兩根木棍之間的距離是多少？這是現實生活中同學們常見的兩樣東西，所以他們會很快想出有兩種方法，把簸箕看成一個圓。一種方法是把木棍放在直徑的同側；另一種是放在直徑的兩側。方法想出后，請同學把實際問題抽象化，求出兩根木棍間的距離。本題容易忽略第二種方法，本題體現了數學中常用的分類討論思想，由于圓是軸對稱圖形，涉及圓內兩平行弦的幾何問題，在解題時一定要考慮全面，分類求解不能漏解。②垂徑定理往往要與勾股定理結合。作圖時常常要構造直角三角形，再利用勾股定理計算。

2.解題時，還需作輔助線，那就需要提供正確的添加輔助線的位置。

（作者單位 貴州省仁懷市火石崗中學）