線性相關性的應用

摘要：通過用行列式、秩、線性方程組以及向量組線性相關性的定義等方法來判斷向量組的線性相關性。因為向量組的線性相關性可以解決許多領域中的難題，所以通過判斷向量組的線性相關性的方法能應用于線性代數、平面幾何、化學以及社會實踐當中。

關鍵詞：向量組；線性相關；線性無關

中圖分類號：O151.26 文獻標志碼：A？搖 文章編號：1674-9324（2013）40-0086-02

一、引言

向量組的線性相關性在許多領域中占有舉足輕重的地位。它與行列式、矩陣、線性方程組的求解、二次型、線性變換、歐式空間以及社會生活實踐等都有著密不可分的聯系。因此，通過判斷向量組的線性相關性的方法解決了線性代數、幾何以及社會實踐當中一些難題。

二、判斷向量線性相關性的方法

1.用定義判斷向量的線性相關性。設α1，α2，…，αr是向量空間V的r個向量。如果存在F中不全為零的數a1，a2，…，αr使得a1α2+a2α2+…arαr=0 （1）

那么就說α1，α2，…，αr線性相關，如果式（1）當且僅當a1=a2=…=ar=0時成立，那么就說向量α1，α2，…，αr線性無關。

2.用行列式判斷向量的線性相關性。若α1=（a11，a21，…an1），α2（a12，a22，…an2），…，αn=（a1n，a2n，…，anm），則

A=a■ a■ … a■a■ a■ … a■┇ ┇ ┇a■ a■ … a■=（α1，α2，…，an）

α1，α2，…，αn線性相關的充要條件是|A|=0；α1，α2，…，αn線性無關的充要條件是|A|≠0。

3.用向量組的秩來判斷。α1，α2，…，αn線性相關？圳R（A）

4.用線性方程組來判斷。若α1，α2，…，αn為系數向量的齊次線性方程組x1a1+x2a2+…+xnan=0，（2）非齊次線性方程組x1a1+x2a2+…+xnan=bi（i=1，2，…，n）（3）

當方程組（2），（3）有無窮多組解？圳向量組α1，α2，…，αn線性相關；

當方程組（2），（3）有唯一解，方程組（2）只有零解？圳向量組α1，α2，…，αn線性無關。

三、應用

1.線性相關性在線性代數中的應用。

例1.設向量組α1，α2，…，αn線性無關，向量β1可由這向量組線性表示，而β2不能由這向量組線性表示，試討論： α1，α2，…，αn，sβ1+tβ2的線性相關性（s，t是不為0的常數）。

解：假設α1，α2，…，αn，sβ1+tβ2的線性相關，則存在一組數不全為零的數k1，k2，…，kn+1，使得 k1α1，k2α2，…，kn+1（sβ1+tβ2）=0 ①

由于β1可由α1，α2，…，αn線性表示，設存在一組數不全為零的數l1，l2，…，ln，使得β1+l1α1+l2α2+…+lnαn ②

將②式代入①式，在整理得（k1+skn+1l1）α1+…+（kn+skn+1ln）αn+kn+1tβ2=0，

因為α1，α2，…，αn，β2線性無關。

所以ki+skn+1li=0，（i∈N+）t=0？圯k1=k2=…=kn+1=0，

即證α1，α2，…，αn，sβ1+tβ2線性無關。

2.線性相關性在平面幾何中的應用。

例2.已知平面上三條不同直線的方程為l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0，試證：這三條直線交于一點的充要條件是a+b+c=0。

解：“必要性”：設這三條直線交于一點（x0，y0），則（x0，y0，1）T是Ax=0的非零解，其中

A=a 2b 3cb 2c 3ac 2a 3b，則|A|=a 2b 3cb 2c 3ac 2a 3b=-（a3+b3+c3-6abc）=-3（a+b+c）[（a-c）2+（b-c）2+（a-b）2]=0，所以a+b+c=0。

“充分性”：將直線l1，l2加到l3上且由a+b+c=0可知，方程組等價于ax+2by=-3c，bx+2cy=-3a.

而a 2bb 2c=2（ac-b2）=-2[a（a+b）+b2]=-[a2+b2+（a+b）2]≠0，因為a≠0，b≠0，c≠0，所以方程組有唯一解，l1，l2，l3交于一點得證。

3.線性相關性在社會生活實踐中的應用。

例3.某機械廠用5種零件（A-E），根據不同的比例配制成了4種產品，各用量成分見表1。

問能否生產成新產品？

解：把每一種新產品看成一個五維列向量，則α1=（1，1，2，5，7），α2=（1，2，3，7，10），α3=（1，3，4，9，13），α4=（1，4，5，11，16），在此令矩陣A=（α1，α2，α3，α4），因為R（A）=2，故向量組線性相關，其中向量組（α1，α2）為其極大無關組，并且α3=α1+α2，α4=2α1+α2，α5=4α1+3α2，因此，可以生產新產品3號、4號和5號。

例4.線性相關性在化學中的相關應用。

化學方程式的配平：

確定x1，x2，x3，x4，x5，x6，使兩邊原子數相等，方程為：

x■12000+x■01110+x■03101+x■14200+x■00101+x■01020

寫成矩陣方程為1 0 0 1 0 02 1 3 4 0 10 1 1 2 1 00 1 0 0 0 20 0 1 0 1 0x■x2x3x4x5x6=00000

解得：x1=3，x2=6，x3=1，x4=3，x5=1，x6=3。

故原化學方程式為：

致謝：感謝通訊作者王凡彬的悉心指導。

參考文獻：

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]艾春瑞，李娟.線性相關性在線性代數中的作用[J].牡丹江師范學報（自然科學版），2011，（2）：11-12.

[3]李曉穎.淺談如何判斷一組向量線性相關[J].中國校外教育，2012，（2）：79.

基金項目：內江師范學院2012年大學生科研項目（12NSD-21）

作者簡介：王玲（1991-），女，四川威遠人，內江師范學院數學與信息科學學院學生。

通訊作者：王凡彬（1957-），男，四川富順人，內江師范學院教授，研究方向：偏微分方程及應用。