條件極值和拉格朗日乘數法的教學體會

摘要：文章給出了高等數學教材中關于多元函數條件極值的Lagrange乘數法的幾何解釋，并對典型例題的解法做了深入探討。

關鍵詞：條件極值；Lagrange乘數法；幾何解釋

中圖分類號：G642.41？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）40-0083-02

多元函數的極值問題是多元函數微分學的重要內容。同一元函數極值一樣，多元函數的極值問題可以由多元函數的微分法求解。多元函數的極值有兩類：一類是目標函數中各個自變量是獨立變化的，沒有附加條件，尋求函數極值點的范圍是目標函數的定義域，這種極值問題稱為無條件極值；而在實際問題中經常會遇到函數的自變量會附加某些限制條件，稱為條件極值。

一般的條件極值問題為：求函數z=f（x，y）在約束條件 φ（x，y）=0下的極值。在假定所討論的區域內，函數（x，y）， φ（x，y）。

均具有連續偏導數，假設φy（x，y）≠0，可將y看作由方程φ（x，y）=0確定的x的函數，記y=ψ（x）。于是可推出z=f（x，ψ（x））的無條件極值了，因而在極點處■=0。

現在■=fx（x，y）+fy（x，y）■，

而■=-■，

所以■=fx（x，y）-fy（x，y）■。

因此極值點滿足fx（x，y）-fy（x，y）■=0，φ（x，y）=0。若令λ=-■，于是引入了Lagrange乘數法：構造Lagrange函數：F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y），令它的三個偏導數為零，得：

fx（x，y）+λφx（x，y）=0fy（x，y）+λφy（x，y）=0φ（x，y）=0

解得x0，y0，λ0，則其中P0（x0，y0）就是可能的極值點。

拉格朗日乘數法使我們不必解方程φ（x，y）=0轉化成無條件極值去做，因為一般情況下化為無條件極值是很困難的。要讓學生知道這是學習拉格朗日乘數法的原因。

對于λ這個數乘因子，學生在初學時感到很困惑。其實，上式可變形為

（fx（x，y），fy（x，y））=-λ（φx（x，y），φy（x，y））φ（x，y）=0

結論：若二元函數f（x，y），φ（x，y）是光滑的，在曲線 φ（x，y）=0上，gradφ（P0）≠■，若P0（x0，y0）為f（x，y）在曲線φ（x，y）=0上的極值點，則必有gradfP0∥gradφ（P0）。即存在常數λ，使gradf（P0）=λgradφ（P0）。

幾何解釋：在xoy面作曲線φ（x，y）=0及等值線f（x，y）=C，條件極值為當曲線φ（x，y）=0與等值線f（x，y）=C具有交點時C值的極值，這時滿足■1=（fx，fy）∥■2（φx，φy）。

方法：綜上所述，我們在求函數z=f（x，y）在約束條件 φ（x，y）=0下的極值時，可以解方程組■=■φ（x，y）=0得極值點（x0，y0）。這樣可以避免求參數λ，因為有些題目參數的運算非常煩瑣。

推廣：上述結論可推廣到三元函數的情形。

例1：求二元函數z=x2+y2在條件x+y=1下的極小值。

解：■1=（zx，zy）=（2x，2y）∥■2=（φx，φy）=（1，1）

得x=y，而x+y=1，得x0=y0=■

所以極小值為z（■，■）=■。

例2 求原點到曲面（x-y）2-z2=1的最短距離。

解法1：根據兩點間的距離公式，原點到曲面上點 （x，y，z）的距離的平方d2=f（x，y，z）=x2+y2+z2，則由■1=（fx，fy，fz）∥■2=（φx，φy，φz），

得■=■=■（x-y）■=1，當z≠0，解得x=y=0，代入曲面方程z無解。所以z=0，這時x=-y，再由（x-y）2=1，得x=±■，y=？芎■。于是極值點是（■，-■，0），（-■，■，0）根據實際問題他們是極小值點，所以原點到曲面（x-y）2-z2=1的最短距離是■。

解法2：用代入法化為無條件極值。

由條件解出z2=（x-y）2-1，則原點到曲面的距離的平方。

d2=F（x，y）=x2+y2+（x-y）2-1。（*）

由Fx（x，y）=2x+2（x-y）=0，Fy（x，y）=2x-2（x-y）=0，解得 x=y=0，但這與實際問題相矛盾。這說明解法2是錯誤的。

為什么呢？原因是我們在用代入法時沒有注意到條件：

z2=（x-y）2-1≥0，即x-y≥1或x-y≤-1。而（0，0）點不在其定義域內，因而不是極值點，如果有極值點應該在邊界x-y=1或x-y=-1上取得。于是我們可以把y=x-1或y=x+1代入（*）式轉化成一元函數求極值得到極值點（■，-■），（-■，■），進而得到原點到曲面（x-y）2-z2=1的最短距離是■。

因此在用代入法時一定要注意條件，對一些簡單的題目可以用代入法，比較復雜的題目還是用拉格朗日乘數法比較好。

綜上，我們給出了多元函數條件極值的Lagrange乘數法的幾何解釋，一般高等數學教材都沒有提到，教師在講課時也很少講到這一點。幾何解釋使學生理解起來更容易和直觀，同時對一些典型例題容易出現的問題作了深入探討。

參考文獻：

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作者簡介：王靜（1976-），女，山東淄博人，東南大學數學系，講師，研究方向：高等數學教育和泛函分析。