函數單調性的應用

摘要：函數的單調性是函數性質中重要的性質之一，是歷年高考重點考查內容，也是解決數學問題的有力工具，靈活運用函數的單調性，充分發揮它的功能可使我們達到事半功倍的效果，下面筆者從七個方面淺談函數單調性的應用。

關鍵詞：函數單調性；應用；方法

中圖分類號：O174 文獻標志碼：A ？搖文章編號：1674-9324（2013）40-0089-02

一、利用函數單調性比較大小

例：比較log3（x+1）和log3（2x+3）的大小。

分析：從題設的兩個對數，便聯想起y=log3t在（0，+∞）上是單調增函數，因此，只須比較真數的大小，原題就獲解。

解：由x+1>02x+3>0得x>-1。

當x>-1時，有0

二、利用函數單調性解不等式

例：已知函數f（x）對任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x>0時f（x）<0。解不等式f（x2-2x）>f（x+4）。

分析：若函數f（x）在區間D上單調遞增，則x1，x2∈D且f（x1）>f（x2）時，有x1>x1。

若函數f（x）在區間D上單調遞減，則x1，x2∈D且f（x1）>

f（x2）時，有x1

本題為抽象函數，故代入求值解不等式不可行，因此，利用上述函數單調性的這種可遞性來解。

解：令x=y=0，則f（0）=0

令x=-y，可得f（-x）=-f（x）

在R上任取x1>x2，則f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）

∵x1>x2，∴x1-x2>0，又∵x>0時f（x）<0，∴f（x1-x2）<0

即f（x1）-f（x2）<0，∴f（x1）>f（x2）∴f（x）在R上單調遞減。

由f（x2-2x）>f（x+4），得x2-2x

∴不等式解集為（-1，4）。

三、利用函數單調性求函數值域

例：求y=■-■的值域。

解：函數的定義域為[1，2]，顯然函數在[1，2]上遞增， ∴值域為[-1，1]。

四、利用函數單調性求參數的取值范圍

例：已知函數f（x）=x2+■（x≠0，常數a∈R），若函數在[2，+∞）上為增函數，求a的范圍。

分析：已知函數在某區間上的單調性，求參數的取值范圍的本質就是轉化為不等式恒成立的問題。

解：f'（x）=2x-■≥0在[2，+∞）上恒成立，

即a≤2x3在[2，+∞）上恒成立，

∴a≤16， ∴a的范圍（-∞，16]。

五、利用函數單調性作圖

例：畫出函數，f（x）=■的圖像。

解：∵f（-x）=-f（x）， ∴f（x）為奇函數，根據奇函數圖像關于原點對稱，只需畫出（0，+∞）上的圖像。

當x>0時，由f'（x）=■=0，得x=1，

∵x∈（0，1）時，f'（x）>0，∴f（x）在（0，1）上遞增，

∵x∈（1，+∞）時f'（x）<0， ∴f（x）在（1，+∞）上遞減。

當x→+∞時f（x）=■→0，又f（0）=0，綜上可畫出函數f（x）的圖像。

六、構造函數判斷單調性，再利用單調性解決相關問題

例：已知a>1且ax-logay>ay-logax，比較x、y的大小。

分析：根據題目的特點，構造適當的函數，利用它的單調性解題是一種常用的解題技巧。

解：由條件得ax+logax>ay+logay，構造函數f（t）=at+logat，則上式即為f（x）>f（y），顯然f（t）=at+logat在（0，+∞）上是增函數，∴x>y。

七、函數單調性在數列中的應用

例：已知數列{an}中，an=■，Sn為其前n項和，求證Sn≥■。

分析：數列的通項公式是由一個等差數列和等比數列組合而成，我們可以先求出Sn，再證Sn≥■，但這樣太過繁鎖，故考慮利用函數單調性求解。

解：由錯位相消法得Sn=■-■，當n≥2時，

Sn-Sn-1=-■+■=■>0

∴{Sn}為遞增數列，∴Sn≥S1≥■。