“案例專題化”教學(xué)法在《常微分方程》實(shí)踐課中的應(yīng)用

摘要：在《常微分方程》課程的實(shí)踐環(huán)節(jié)中，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的自主創(chuàng)新能力，筆者總結(jié)歸納了一個(gè)行之有效的“案例專題化”教學(xué)法。通過(guò)前期充分的教學(xué)準(zhǔn)備，實(shí)施中讓學(xué)生“讀問(wèn)題—找方法—做問(wèn)題—解決問(wèn)題”，實(shí)質(zhì)性地提高了實(shí)踐環(huán)節(jié)的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：實(shí)踐環(huán)節(jié)；案例專題化；教學(xué)法

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）40-0050-02

一、引言

《常微分方程》是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門應(yīng)用性較強(qiáng)的基礎(chǔ)課，但因其公式推導(dǎo)繁多，計(jì)算量偏大、理論性問(wèn)題多，很容易讓學(xué)生感覺(jué)枯燥、疲勞。隨著現(xiàn)代教學(xué)方法的發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)多媒體等教學(xué)工具的引入，使得這門應(yīng)用數(shù)學(xué)中最古老，但一直充滿活力的學(xué)科的教學(xué)方法更加豐富，在教學(xué)效果上有了質(zhì)的提高。現(xiàn)在國(guó)內(nèi)外許多高校在開(kāi)設(shè)這門理論課的同時(shí)，都相應(yīng)地配套一個(gè)實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，或稱為《微分方程課程設(shè)計(jì)》、《微分方程數(shù)值解》等。通過(guò)專門編訂教學(xué)指導(dǎo)書或教學(xué)計(jì)劃，結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件（如MATLAB、Mathematic或Maple），將理論課中相應(yīng)內(nèi)容通過(guò)圖像直觀展示，加深對(duì)問(wèn)題的理解，同時(shí)拓寬應(yīng)用知識(shí)的學(xué)習(xí)，如問(wèn)題求解的編程實(shí)現(xiàn)、數(shù)值算法的精度分析等。理論教學(xué)可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力、計(jì)算推導(dǎo)和定性分析能力，實(shí)踐環(huán)節(jié)能夠幫助學(xué)生直觀分析理解問(wèn)題、提高學(xué)生計(jì)算機(jī)操作能力、增強(qiáng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際解決問(wèn)題的能力。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，這種理論與實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)，的確取得了很好的教學(xué)效果，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高了學(xué)生的認(rèn)知能力和動(dòng)手能力。

通過(guò)幾年的教學(xué)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)實(shí)踐環(huán)節(jié)教學(xué)的方式方法還存在許多可以提升的空間。比如，在《微分方程課程設(shè)計(jì)》的指導(dǎo)書中，算法的分析、結(jié)果顯示主要針對(duì)一些普通微分方程例子，而那些生活中的實(shí)際問(wèn)題所占比例并不多，不能很好地體現(xiàn)《常微分方程》“應(yīng)用性較強(qiáng)”的課程性質(zhì)，同時(shí)也難以在培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和處理問(wèn)題的能力上收到更好的教學(xué)效果。于是，我們通過(guò)收集大量應(yīng)用案例問(wèn)題，將其整理、歸類并分散到各個(gè)實(shí)踐小環(huán)節(jié)中去，讓學(xué)生先“讀問(wèn)題”，然后“找方法”，再到“做問(wèn)題”，最后“解決問(wèn)題”。這也就是我們的“案例專題化”教學(xué)法的基本應(yīng)用過(guò)程的簡(jiǎn)單概括。

二、實(shí)施前期準(zhǔn)備

1.更新觀念，集思廣益，優(yōu)化大綱。在實(shí)踐課中，老師已不再是高高在上的“師者”，不再僅僅是“傳道、授業(yè)、解惑”，我們要讓學(xué)生變“俯首聽(tīng)命”為“操刀上陣”！上世紀(jì)70～80年代，英國(guó)學(xué)者勞倫斯首倡“教師作為研究者”的理論。他提倡教師在教學(xué)上采用探究的方法，而不是采用講授、指導(dǎo)的方法，教師應(yīng)以學(xué)習(xí)者和研究者的身份出現(xiàn)，而不是以經(jīng)驗(yàn)和技術(shù)型專家的身份出現(xiàn)。隨著教育改革的深入，這樣的觀點(diǎn)受到越來(lái)越多人的認(rèn)可。為了讓學(xué)生更好地在實(shí)踐環(huán)節(jié)中“學(xué)以致用”，老師必須在實(shí)踐環(huán)節(jié)中做“顧問(wèn)參謀”，師生協(xié)調(diào)共同參與“案例專題”的分析處理。我們咨詢了許多有多年講授經(jīng)驗(yàn)的同事，并對(duì)國(guó)內(nèi)外多種教材進(jìn)行了分析，比如美國(guó)經(jīng)典教材，就采用先給出應(yīng)用案例再進(jìn)行理論分析的模式，國(guó)內(nèi)王高雄老師等編的《常微分方程》第三版教材[1]的緒論以及各章中都引入了大量實(shí)例，同時(shí)增補(bǔ)了數(shù)值計(jì)算章節(jié)。因此，我們對(duì)實(shí)踐環(huán)節(jié)的教學(xué)大綱進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，將算法的講解部分壓縮，留出足夠時(shí)間讓學(xué)生來(lái)“講問(wèn)題，做問(wèn)題”。

2.資料收集，整合歸類，合理分布。比如，通過(guò)對(duì)同步教材中的例子的整理，其中物體冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，因其構(gòu)建的方程是比較簡(jiǎn)單的一階方程，我們將其作為實(shí)踐課程的第一個(gè)基本案例，并設(shè)定要求用至少兩類基本Euler法求解，并用圖像來(lái)展示，分析其結(jié)果的差異，并給出合理的解釋。又比如，大綱中微分方程組的數(shù)值處理部分，我們選取生物學(xué)中的兩物種捕食模型和三物種食物鏈模型的案例來(lái)組織。在講解Runge-Kutta方法時(shí)，預(yù)設(shè)“剛性問(wèn)題求解”的案例，以兩類高階方程為例，對(duì)比選擇一個(gè)非剛性方程問(wèn)題（如：數(shù)學(xué)擺）和一個(gè)剛性方程問(wèn)題（如：Van-del-Pol方程）。這是前期教學(xué)準(zhǔn)備工作的關(guān)鍵，大量收集并對(duì)案例進(jìn)行分類整理，歸類劃分，建立充實(shí)的案例專題庫(kù)，并能實(shí)時(shí)更新補(bǔ)充。

3.動(dòng)態(tài)調(diào)控，精選方案，優(yōu)化過(guò)程。前蘇聯(lián)大教育家巴班斯基，提出教學(xué)過(guò)程最優(yōu)化的理論[2]，他把教學(xué)過(guò)程最優(yōu)化理解為：教師有目的地選定一種建立教學(xué)過(guò)程的最佳方案，保證在規(guī)定時(shí)間內(nèi)解決教養(yǎng)和教育學(xué)生的任務(wù)，并取得盡可能最大的效果。他特別強(qiáng)調(diào)了五個(gè)不可或缺的最優(yōu)化因素中的關(guān)鍵是選擇最佳方案，其本質(zhì)是獲取最優(yōu)效果。我們?cè)趯?shí)踐教學(xué)過(guò)程中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，還會(huì)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際情況，及時(shí)調(diào)控案例任務(wù)，在案例專題庫(kù)中選調(diào)更優(yōu)案例，優(yōu)化實(shí)踐環(huán)節(jié)的教學(xué)過(guò)程。

三、實(shí)際操作

實(shí)踐環(huán)節(jié)的課程設(shè)計(jì)與《常微分方程》同步進(jìn)行，授課對(duì)象是大二的本科生，已經(jīng)修過(guò)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》[3]或類似課程，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中具備了基本的算法分析能力和動(dòng)手編程能力[4]。因此，實(shí)踐環(huán)節(jié)中，根據(jù)大綱章節(jié)順序有層次、由淺入深地布置案例題，讓學(xué)生按照“讀問(wèn)題—找方法—做問(wèn)題—解決問(wèn)題”的步驟進(jìn)行學(xué)習(xí)和自我學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在對(duì)案例專題的探討過(guò)程中，學(xué)會(huì)基本數(shù)值算法，思考、分析問(wèn)題，然后去求解問(wèn)題。

1.讀問(wèn)題。每一個(gè)案例，它首先是一個(gè)應(yīng)用題，要求學(xué)生讀懂它，讓他們自己去回答“問(wèn)題是什么，做什么，要求怎么做”，以分組或個(gè)人的形式去分析案例，并按照案例中的問(wèn)題和要求去思考，使學(xué)生主動(dòng)咨詢和收集相關(guān)資料，為下一步工作做好準(zhǔn)備。

2.找方法。“工欲善其事，必先利其器”，讓學(xué)生對(duì)案例中引出的數(shù)值處理方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，然后用來(lái)處理案例。案例中提出需要用到的方法，正是大綱中要求的相應(yīng)數(shù)值方法的學(xué)習(xí)內(nèi)容。比如，在“用后退Euler法來(lái)分析Logistic模型初值問(wèn)題”中，要求學(xué)生首先主動(dòng)學(xué)習(xí)Euler法，然后有目的去分析對(duì)比幾類Euler法，理解并采納具有絕對(duì)穩(wěn)定性的后退Euler法來(lái)解決問(wèn)題。又比如，“一類化學(xué)方程的剛性問(wèn)題的Runge-Kutta方法處理策略”中，自然要對(duì)Runge-Kutta方法了解深入透徹。

3.做問(wèn)題。“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，學(xué)生學(xué)會(huì)方法之后，重點(diǎn)就是針對(duì)問(wèn)題去認(rèn)認(rèn)真真地做，這也是我們實(shí)踐課的重要目標(biāo)之一。在做的過(guò)程中，嚴(yán)格執(zhí)行學(xué)生自己完成任務(wù)的要求，可以適當(dāng)放寬時(shí)限。另外，可以讓學(xué)生課堂上匯報(bào)自己的進(jìn)程、結(jié)果，這也起到督促作用，同時(shí)還能激勵(lì)他們主動(dòng)學(xué)習(xí)。

4.解決問(wèn)題。這是案例專題的最后一環(huán)，不可忽視它的重要作用。一方面，問(wèn)題的解決需要進(jìn)行上機(jī)檢驗(yàn)，可以用現(xiàn)場(chǎng)操作、實(shí)驗(yàn)報(bào)告等方式展示結(jié)果，也便于老師評(píng)價(jià)打分；另一方面，解決問(wèn)題后的反思總結(jié)不可或缺，可以讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有個(gè)很及時(shí)的“反芻消化”過(guò)程。

四、結(jié)束語(yǔ)

堅(jiān)持以人為本，加強(qiáng)培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，運(yùn)用多種方式著力培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，一直是《常微分方程》的實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)的教學(xué)改革目標(biāo)。“案例專題化”的教學(xué)方法，由“案例引方法”再“用方法做案例”，以學(xué)生為主體，教師做“顧問(wèn)”，在實(shí)踐環(huán)節(jié)的具體教學(xué)過(guò)程中，有效地激發(fā)了學(xué)生去快樂(lè)學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王高雄，周之銘，等.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]俞國(guó)良.當(dāng)代青少年心理與教育大辭典[M].太原：山西人民出版社，1999：442.

[3]張智豐.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2008

[4]張小紅.將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想融入數(shù)學(xué)類課程[C]//大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇論文集.北京：高等教育出版社，2007：254-256.

基金項(xiàng)目：杭州電子科技大學(xué)高等教育研究項(xiàng)目（ZC1104）和重點(diǎn)研究項(xiàng)目（ZD1201）