淺談極限概念的重要性及教學策略

摘要：本文在回顧極限概念發展史的基礎上，闡述了極限概念重要性，并結合多年的教學實踐，給出了教學對策。

關鍵詞：高等數學；極限概念；發展史；數列；教學對策

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）40-0210-02

極限概念是高等數學中的重點與難點，是數學由具體到抽象、從常量到變量、從有限到無限、從初等數學過渡到高等數學的關鍵，是微積分的基礎及其推理工具。沒有極限概念，就沒有高等數學的嚴密結構，只有借助極限概念，才能對自然科學及經濟學中所碰到的許多具體的量給出完整而嚴密的定義。對于極限概念的理解，直接關系到學習高等數學的成敗。凡是高等數學的學困生，大多是對極限概念理解不深、不透，難以理解后續知識中的一些重要概念，對“微積分”產生“只見樹木不見森林”的局限與片面認識，缺乏對該學科的宏觀、整體認識，因此對高數的學習提不起興趣，產生厭學情緒。我們簡單回顧極限概念的發展、完善過程及其與高等數學的發展過程的聯系，從而更深刻地認識極限概念的重要性。

早在公元前，中外學者就引用了一些極限方法。我國劉徽第一個用極限思考問題，用“割圓術”求出了圓周率的近似值。在國外，齊諾的“二分說”、“阿基里追龜”等大家熟知的四個違背常識的悖論就是采用了極限思想，引起了當時學術界極大的震動。雖然極限的思想方法出現如此早，但由于極限沒有精確的定義，所以從公元前極限思想的萌芽到17世紀中葉的近兩千年時間里，數學都停留在初等數學時期。到17世紀中葉，數學學者對極限有了進一步的認識，并在自然科學應用需求的推動下，開始建立微積分，并且發展迅速，18世紀達到空前燦爛的程度。但由于對極限思想理解的混亂，使它遭受了種種非難。到18世紀下半葉，法國數學家達郎貝爾給出了比較能反映極限本質的極限概念，并作為分析的基礎，但由于他給出的定義仍然沒有數量化、不夠精確，所以，這個時期的微積分的理論仍然沒有牢固的基礎，也不完善。直到19世紀，柯西于1821年最先在他的《分析教程》中給出了極限的定義法，用不等式刻畫整個極限過程，使無窮的運算化為一系列的不等式的推導，從而使極限概念“算術化”。并且，他進一步利用此概念給出了一系列相關基本概念的嚴格定義，出版了他的具有劃時代意義的著作：《分析教程》、《無窮小分析教程》、《無窮小在幾何學中的應用》等。半個世紀后，德國數學家魏爾斯特拉斯完善完成了沿用至今的ε-δ定義，從而使極限概念擺脫了依賴幾何直觀的局限性，使概念中原有的“無限接近、想要多小就多小”等不明確的表達嚴密化，成為微積分的堅實基礎工具，從而使微積分這一學科達到今天近乎完美的程度。

綜上所述可知極限概念何等重要！因此，教師要加強對極限概念的教學，要教得深而透，切實讓學生弄懂學透，為后面的高數學習鋪平道路，正所謂“磨刀不誤砍柴功”。學生要掌握好極限概念，關鍵是首先要掌握好數列極限概念，教學中我采取以下教學方法。

一、認真分析造成學生對數列極限概念理解困難的原因

學生之所以難理解的原因在于：描述性定義中有“無限增大、無限接近、唯一確定”，ε-N定義中有“任意、給定、總存在”等較抽象的術語。且概念的敘述繁長、符號很多，符號之間的數量關系錯綜復雜，學生難以掌握[1]。對ε的作用和任意性、給定性以及和N間的依賴性，學生不易搞清。對絕對值的幾何意義夜不熟悉。

二、用歷史上產生極限思想的著名例題引入課題

對這方面的例題可多舉，讓學生捉摸思考之后引入描述定義，分析其缺點，為引入ε-N定義做好準備。再介紹ε-N定義，并通過大量舉例，讓學生給出具體的ε再求出N，使學生學好這一概念[2]。

三、仔細詮釋數列極限的ε-N定義

如何實現由直觀描述性定義到定量形式的ε-N概念的轉化，是教學中的關鍵和重點，在教學過程中我嘗試按下列過程逐步講解，使學生由淺入深、由具體到抽象逐漸掌握極限概念。

1.指出“無限地接近”的含意不確切，提出為了邏輯推理的需要，要有一個嚴格的說法。

2.把“無限地接近”改成“距離無限減小”，而距離可以用絕對值表示。因此直觀描述性定義換一說法：“如果當數列{xn}的項數n無限地增大時，|xn-a|無限減小，那么就稱a是這個數列的極限”。通過這一改變為上升到定量形式的定義作準備。

3.把“無限減小”的意思嚴格化。無限減小的意思是“要多小就有多小”，就是對任意的一個正數ε，|xn-a|<ε。

4.通過例子把“n無限增大”的意思與“|xn-a|無限減小”結合起來，于是得到數列極限定量形式的定義。

5.認真分析極限概念的內涵，進一步揭示：ε的絕對任意性和相對穩定性；N對ε的信賴性；N對a的客觀存在性；xn對a的無限趨近性[3]。

6.詮釋數列極限的幾何意義，形象理解極限概念。已知|xn-a|<ε等價于a-ε0，都存在一個以a為中心，以ε 為半徑的領域U（a，ε），數列{xn}中總存在一項xn，在此項后的所有項嗎，它們在數軸上所有的點都位于a的ε鄰域U（a，ε）之中，至多能有N個點在此鄰域之外，這說明數列{xn}的第N項之后的所有項所對應的點都和點a緊密地“擠”在一起、無限集聚在點a附近，不管ε多小，這個事實都不會改變[3]。

四、詮釋完概念后向學生解釋

ε-N定義雖然精確但并未給出求極限的方法，只能用以證明某數是否為極限。對這類證明問題，可根據學生層次，采取舉例、課堂練習或課后作業等形式，以進一步加深學生對ε-N定義的理解[3]。

數列極限概念掌握好了，在此基礎上學生就很容易理解函數極限的ε-δ定義了。

講授完概念后，再以極限為龍頭，描繪本書的結構，回憶本書的內容。加強學生對此學科的知識結構，理論體系，研究方法，哲學思想的進一步認識。使教學不局限于把數學作為一門工具學科，而要讓學生能夠以這種思想作指導，用這些方法為基礎，去解決今后工作中，理論研究中所碰到的各種各樣的復雜問題，這才是我們教學的最終目的。

總之，教師通過精心設計教學程序才能有利于學生對極限概念的理解，真正把握概念的本質屬性，融會貫通地掌握知識，發展能力。

參考文獻：

[1]周文.對影響高職學生數學學習若干因素的思考[J].湖北職業技術學院學報，2004，（2）.

[2]滕桂蘭，楊萬祿.數列極限.高等數學[M].第三版.天津：天津天學出版社，2006.

[3]張國昌.高等數學（第一冊）[M].蘇州：蘇州大學出版社，2003.