求最值問題的五種方法

摘要：最值問題是高中數(shù)學(xué)問題中較為綜合的問題，一般在高三第二輪復(fù)習(xí)時，許多老師常作為重要專題進(jìn)行講解.在高考試題中，它也是熱點。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；求值問題；教學(xué)方法

中圖分類號：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）40-0173-02

我們在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時，熟練掌握求最值的各種方法是十分重要的，下面我們給出求最值的常用方法，希望對同學(xué)們學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容有所啟示。

一、配方法

例1 求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值。

解法1：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x

=8-4sinxcosx-1+4cos2x-4cos4x

=8-2sin2x-（1-sin22x）

=7-2sin2x+sin22x

=6+（1-sin2x）2

ymax=10，ymin=6。

解法2：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x

=7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）

=7-2sin2x+4cos2xsin2x

=7-2sin2x+sin22x

=6+（1-sin2x）2

ymax=10，ymin=6。

點評：本題主要考查了三角恒等變換和三角函數(shù)與二次函數(shù)相關(guān)知識，所考方法和知識點都是常規(guī)的，高考試題中許多題目并不偏不怪。

二、數(shù)形結(jié)合法

例2 求函數(shù)y=■的最值。

解：將函數(shù)式變形為y=■，只需求函數(shù)u=■的最值。

把u看成兩點A（2，■），B（cosx，sinx）連線的斜率，（B即為單位圓上的點），

則當(dāng)直線AB為單位圓的切線時，其斜率為最大或最小。

設(shè)過A點的單位圓的切線方程為y-■=k（x-2），即kx-y+■-2k=0。

則圓心到切線的距離為■=1，解得：k1=■，k2=-■。從而函數(shù)最大值為ymax=■×■=1；最小值為ymin=■×（-■）=-■。

點評：本題是一道十分經(jīng)典的題目，通過觀察函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，找出其幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合和解析幾何知識完成本題的解答，方法直觀性強(qiáng)，運算量較小。

三、代換法

例3 已知函數(shù)f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，求y=[f（x）]2+f（x2）的最大值。

解先求所求函數(shù)的定義域，依題意得1≤x≤91≤x2≤9解得x∈[1，3]。

設(shè)u=log3x，u∈[0，1]，則y=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2

=log32x+6log3x+6

=u2+6u+6

=（u+3）2-3，

∴當(dāng)u=1時，ymax=13。

點評：換元法是一種常用的解題方法，這種方法的本質(zhì)其實就是化歸，使所求式子化歸成簡潔的形式，使問題的解決更加簡單。

四、均值不等式法

例4 若x>0，y>0，且2x2+■=8，求x■的最大值。

解：令t=x■，兩邊平方得：

t2=（x■）2=x2（6+2y2）=3·2x2（1+■）≤3×（■）2=3·（■）2，

所以t≤■■。

當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1+■時，即x=■，y=■等號成立，

故x■的最大值為■■。

點評：均值不等式求最值是一種常用的方法，但在實際做題時，為滿足“正”“定”“等”三個條件，我們往往因題而宜地進(jìn)行“拆、拼、湊”等變換。這些技巧的熟練運用，對于提高思維的靈活性和嚴(yán)密性大有好處.

五、單調(diào)性法

例5 求函數(shù)y=4sin2xcos2+■的最值.

解：函數(shù)y=4sin2xcos2x+■=sin22x+■，

令t=sin22x，則t∈[0，1]，于是y=t+■在（0，■]內(nèi)遞減，在[■，1]內(nèi)遞增。

所以當(dāng)t=■，即sin2xcos2x=■時，ymin=1；無最大值。

點評：對于許多最值問題，因為所求最值的式子積或和為定值，我們易于想到運用均值不等式.但實際上這些題目不具備運用均值不等式的條件，這類題目一般最終要用的函數(shù)的單調(diào)性。