點集拓撲課堂教學的幾點體會

摘要：根據幾年來的教學實踐，筆者從激發學生學習興趣，恰當運用舉例法，類比法等方面總結了點集拓撲教學中應注意的一些問題及心得體會.

關鍵詞：課堂教學；興趣；舉例法；類比法

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）42-0134-02

點集拓撲是大學數學的一門重要的基礎課程，其顯著特點為高度的抽象性與概括性，這使得它在現代數學的許多分支如泛函分析、微分幾何、微分方程等以及理論物理、計算機、電子通訊以至原子核的構造理論等自然科學及工程技術領域的諸多學科都有廣泛的應用。但也正因為此，學生在初次接觸時常感到非常抽象，不易于接受。因此，如何使這門課讓學生易于接受，樂于接受是學生能否講好這門課程的關鍵。在此，筆者從以下幾方面進行了探討。

一、增強趣味性，激發學生學習興趣

興趣是學習的動力。對于本科階段的學生來說，興趣仍然是很重要的。在這幾年的教學中，我們發現學生們普遍存在的一個疑問就是為什么要學數學，學數學到底有什么用。在很多學生看來，數學不但枯燥乏味，而且不像物理、化學、計算機等專業有用。因此在學習的時候往往感到很茫然，勁頭不足，只是為了學習而學習。有的學生甚至認為平時聽不聽課也無所謂，只要考試前突擊一下，考試及格就可以了。時間一長，不但影響學生的成績，而且使得教學只流于形式，學生的綜合素質也不斷下降。因此，有必要為學生解答好這些問題，激發學生對學習的興趣，使學生能夠以飽滿的熱情投入到學習中去。

數學發展到今天，已經成為自然科學中一門重要的基礎性學科，對自然科學諸領域有著深刻而廣泛的影響，在培養學生的創新精神和思維能力等方面也起到重要作用[1-3]。然而，由于課程本身的特點以及一些客觀原因，使得我們在教學中對理論知識的講解相當重視，但對這些知識在實踐中的應用或與實際問題的聯系則講解得偏少。時間一長，使得學生感到所學的東西不但枯燥，而且不知有何作用，似乎只是在為學習而學習。這就要求教師在課堂上或課下有意識地與學生多進行交流活動，同時結合課程本身，向學生講解數學各分支的背景知識、在實踐中的應用及一些趣味性話題等。下面我們結合點集拓撲的教學談兩點體會。

第一，要重視緒論部分的講解。緒論是對課程的整體性概括。一般來說，緒論中包括了本課程的起源、發展歷程、在本課程發展中起到重要作用的典型問題等內容。講好緒論對于學生明確學什么，為什么學和怎么學很有幫助。因此，在課程開始的時候，我們都要對緒論作一個較為詳細的介紹。一方面，讓學生對本課程有一個較為全面的了解與認識，另一方面，通過對本課程中一些典型問題和趣味問題的講解，激發學生對本課程的興趣。如在點集拓撲中，我們從一筆畫問題、哥尼斯堡七橋問題、地圖著色問題等入手，通過分析，逐步引出點集拓撲的研究內容，及其與微分幾何的區別與聯系等。這些都是很典型的實際問題，也很有趣，容易引起學生的興趣。在此基礎上，我們再對這門課程的起源、發展史等作一個全面的介紹，學生就很樂意接受。這樣既讓學生學到了知識，又達到了激發學生學習興趣的目的。

第二，在課程中間穿插一些趣味性話題，有利于活躍課堂氣氛，提高學生學習的積極性。但這樣的話題不能隨意選取，要與課程本身有一定關聯，以實現與課堂的自然銜接。如在集合論中，會講到羅素悖論。羅素悖論本身比較抽象，但它有一個通俗的版本，就是理發師問題[4]。這樣的問題學生聽得懂，也樂意聽，感覺有意思。先從這樣的問題入手，在此基礎之上，再講羅素悖論的起因，以及由此引發的數學危機等。這樣不但激發了學生學習的興趣，同時也讓學生對集合論有了更深層次的理解與認識。

實際上，數學兼具美與實用的性質。數學本身具有美感，但數學這門學科能夠屹立數千年不倒，并得到蓬勃發展，除自身美感之外，更重要的還在于它的實用性，在于其對社會發展的不可替代的推動作用。數學家L.Bers的一句話[5]很好地闡釋了數學之于社會的作用：“社會十分尊重數學，這可能不是因為這個學科的內在美，而是因為數學是社會極其需要的一種藝術。”很平常的一句話，道出了數學在人類社會中所占的地位及其重要性。因此，我們在講課時要多注意將理論知識與實際問題相結合，讓學生體會所學課程的應用，這樣將有利于學生以積極的心態去學習。

二、恰當的舉例可以使抽象的內容形象化，起到事半功倍的效果

相對于大一大二所學過的數學分析、線性代數而言，拓撲學是一門相當抽象的數學分支，理論性很強。因此學生在初次接觸到這門課時一方面感覺比較抽象，另一方面感到比較枯燥乏味，興趣不大。在教學中我們發現，某些課堂上定理講得比較多，學生在一開始聽得還比較認真，但到后面發現定理一個接一個，注意力就會下降。根據學生的反映，結合課程本身，我們在課堂上要盡可能地引入一些直觀、具體的實例，結合實例解釋抽象的問題。這在很多時候都收到了很好的效果。如在講度量子空間時，用到如下結論[6]：設X=X1×X2為度量空間X1與X2的度量積空間，x=（x1，x2）∈X。則對任意的ε>0有

B1（x1，■）×B2（x2，■）？奐B（x，ε）？奐B1（x1，ε）×B2（x2，ε），（*） 其中，B（x，ε）表示積空間X中以點為中心，以ε為半徑的球形鄰域；Bi（xi，ε）（i=1，2）表示X的坐標空間Xi中以xi為中心，以ε為半徑的球形鄰域。

這個公式看起來很抽象。當把這一公式寫在黑板上時，學生的第一反應是：“為什么？怎么得來的？”我對學生說：對于這個公式，我們可以直接證明，即證明一個集合中的點都包含在另一個集合之中。當然這是理論上的，學生仍然有疑問：到底這個公式有著什么樣的含義呢？于是，我們給出了下面一個例子。

考慮歐氏平面R2。設x=（x1，x2）為R2中任一點，ε>0為一正的實數。則B（x，ε）為R2中以為中心，以ε為半徑的開圓盤K，而Bi（xi，ε）（i=1，2）則為坐標直線上以xi為中心，長度為2ε的開區間。于是，B1（x1，ε）×B2（x2，ε）與B1（x1，■）×B2（x2，■）分別為中心在點x，邊長為2ε與■ε的正方形，它們實際上是開圓盤的外切正四邊形與內接正四邊形。如下圖所示。

由圖可以看出，公式（*）所表示的含義實際上就是：以x為中心，以ε為半徑的開圓盤一定包含它的內接正四邊形，同時還包含于它的外切正四邊形之中。這在幾何上很顯然是成立的。從這個示例我們可以看出，在形式上看起來很抽象復雜的問題，換個角度來看或許就很容易理解了。

三、注意與數學分析中對應概念及其性質的區別與聯系

數學分析中所討論的空間是n維歐氏空間Rn·n=2時為歐氏平面，n=3時即為我們所熟知的3維空間。歐氏空間實際上是度量空間的一個特例。將歐氏空間再推廣即得到拓撲空間。因此，拓撲學中所討論的問題有許多都與數學分析中的相關問題是平行的。對這些問題，它們有相同之處，也有區別。如在數學分析中和拓撲學中，我們都討論序列。但對于序列的性質，它在不同空間中其實是有很大差別的。如在歐氏空間中，序列如果收斂則它的極限必定是唯一的，但在一般的拓撲空間中，收斂序列的極限則不一定是唯一的，也就是說，如果一個序列收斂它的極限可能不止一個。這是一個很有趣的現象，出現這一現象的原因則是由于所處空間的拓撲不同。另一方面，由于度量空間也可以看作拓撲空間，因此也自然有許多共同之處。如“常值序列均收斂”、“一個序列如果收斂，則它的任一子序列也必然收斂”等，這些性質不管是在歐氏空間還是在一般的拓撲空間中都是成立的。在平時的教學中，多鼓勵學生去發現這些共性與不同之處，不但可以激發學生的學習興趣，也可以讓學生體會到本課程與其他課程之間的聯系。

文中所寫僅為本人在教學實踐中的一點心得體會。限于本人能力及經驗，如有不足之處懇請各位專家予以批評指正。本文的目的在于“拋磚引玉”，以使我們在教學實踐中不斷總結好的教學經驗及各種行之有效的教學方法，以此促進我們教學水平的不斷提高與進步。

參考文獻：

[1]崔麗英.淺談如何提高大學數學課堂教學質量[J].中國西部科技，2011，10（27）.

[2]夏國坤，孔林濤.大學數學教學與學生創新能力培養[J].中國輕工教育，2004，（9）.

[3]張清年，葉曉楓.大學數學教育在創新人才培養中的地位和作用[J].華北水利水電學院學報（社科版），2011，27（4）.

[4]從山.集合與悖論——談“集合”的定義問題[J].安徽電力職工大學學報，2003，8，（4）.

[5]張順燕.數學的源與流[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6]熊金城.點集拓撲講義[M].北京：高等教育出版社，2005.