方陣的特征值與方陣的根

摘要：通過對方陣特征值與方陣根之間關(guān)系的討論，用方陣的特征值給出方陣存在根的若干條件。

關(guān)鍵詞：方陣；特征值；根

一、引言與預(yù)備知識

方陣的特征值是矩陣?yán)碚撝械囊粋€重要的概念，許多矩陣問題都與其有密切的聯(lián)系，在其他領(lǐng)域也具有廣泛的應(yīng)用. 而方陣的根是方陣冪的反問題，與方陣的特征值是兩個不同的概念.文獻(xiàn)[1-3]對方陣的根做了初步的探討，得到了一些結(jié)果.本文討論方陣的特征值與方陣的根兩者之間的聯(lián)系，用方陣的特征值給出了方陣存在根的一些條件，可作為文獻(xiàn)[1-3]的補(bǔ)充.在本文中，我們用Pn×n表示數(shù)域P上n階方陣集合，用r（A）表示矩陣A的秩，用C表示復(fù)數(shù)域，其他記號可參見文獻(xiàn)[4].定義1.1[1-3]設(shè)A∈Pn×n，若存在B∈Pn×n，使得A=Bm，則稱B是A的m次根.定義1.2[4]設(shè)A∈Pn×n，λ∈P是A的特征值，則集合Vλ=ζ∈Pn｜Aζ=λζ是Pn的子空間，稱為A的屬于特征值λ的特征子空間.定義1.3[4]設(shè)λ∈C，形式為λ 1 λ?塤 ?塤1 λ的方陣稱為含λ的若當(dāng)塊.由若干個若當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣J=J■ J■?塤 J■，稱為若當(dāng)形矩陣，其中Ji=λi 1 λi?塤 ?塤1 λi是含λi的若當(dāng)塊，且λ1，λ2，…，λs中有些可以相等.定理1.1[4]：設(shè)A∈Cn×n，則存在可逆陣P，使得P-1AP=J=J■ J■?塤 J■且對角線上元素 λ1，λ2，…，λs是A的全部特征值.在定理1.1中，當(dāng)dimVλi=λi的重數(shù)k時，含有λi的若當(dāng)塊有k個且都是一階的.

二、方陣存在根的條件

定理2.1[3]：設(shè)A∈Cn×n，則當(dāng)A可對角化時，對任意正整數(shù)m，A存在m次根.定理2.2[1]在復(fù)數(shù)域上，對任意正整數(shù)m（m＞1），n（n＞1）階若當(dāng)塊J=λ 1 λ ?塤 ?塤 1 λ，存在m次根充要條件是λ≠0.推論2.1：n階若當(dāng)塊0 1 0 ?塤 ?塤 1 0存在m次根充要條件是n=1.定理2.3[3]：若A∈Pn×n存在任意m次根，而D與A相似，則D也存在任意m次根.定理2.4：設(shè)A=A1A2?塤 As則當(dāng)Ai（i=1，2，…，s）存在任意m次根時，A也存在任意m次根.

證明：設(shè) Bi是Ai的m次根，則B■■=Ai（i=1，2，…，s），從而有A=A1A2?塤 As=B■■B■■?塤 B■■=B1B2?塤 Bs，所以A存在m次根.

三、方陣特征值與方陣根存在性的關(guān)系

定理3.1：設(shè)λ1，λ2，…，λk是方陣A∈Cn×n的全部特征值，則：

1.當(dāng)k=n，且λ1，λ2，…，λn互不相同時，A存在任意 m次根.

2.當(dāng)V=Vλ1?茌Vλ2?茌…?茌Vλk時，A存在任意m次根.

3.當(dāng)■dimVλ1=n時，A存在任意m次根.

4.當(dāng)dimVλi=λi的重數(shù)時，A存在任意m次根.

5.當(dāng)■r（λ■E-A）=n（k-1）時，A存在任意m次根.

證明：由定理2.1及方陣可對角化條件即可證得本定理.定理3.2 若方陣A∈Cn×n的特征值不為零，則A存在任意m次根.證明：由定理1.1知，存在可逆陣P，使得p-1AP=J=J1J2?塤 Js其中ji=λi 1 λi?塤 ?塤1 λi（i=1，2，…，s）且λ■（i=1，2，…，s）是A的特征值.因為λ■（i=1，2，…，s）不為零，所以由定理2.2知Ji存在任意m次根，從而由定理2.4知J存在任意m次根，再由定理2.3可得A存在任意m次根.

推論3.1：復(fù)數(shù)域上可逆矩陣A存在任意m次根.定理3.3：設(shè)A∈Cn×n，若A有特征值λ=0，則當(dāng)dimV0等于λ=0的重數(shù)k時，A存在任意m次根.證明：存在可逆陣P，使得P-1AP=J=J1J2?塤 Js其中Ji=λi 1 λi?塤 ?塤1 λi（i=1，2，…，s）且λi（i=1，2，…，s）是A的特征值.由定理1.1知，當(dāng)dimV0等于λ=0的重數(shù)k時，J中含λ=0的若當(dāng)塊有k個且都是1階的，從而這樣的若當(dāng)塊存在任意m次根.由定理2.2可知，J中不含λ=0的若當(dāng)塊存在任意m次根.于是由定理3.3可知，J存在任意m次根，最后由定理2.3可知A存在任意m次根.推論3.2：設(shè)A∈Cn×n，若A的零特征值是一重的，則A存在任意m次根.證明：存在可逆陣 P，使得P-1AP=J=J1J2?塤 Js其中Ji（i=1，2，…，s）是ik階若當(dāng)塊，且i1+i2+…is=n.因為A的零特征值是一重的，所以r（J）=n-1，從而r（J）=n-1，因而dimV0=dimX∈C■│AX=0■=n-r（A）=n-（n-1）=1，即dimV0等于零特征值的重數(shù)，故A存在任意m次根.

參考文獻(xiàn)：

[1]許亞善.方陣任意次方根存在的充要條件[J].數(shù)學(xué)通報，2000，（9）：39-40.

[2]余世群.n階方陣的任意m次方根[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2003，20（1）：28-29.

[3]林大華.關(guān)于方陣P次根的若干結(jié)果[J].貴州師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，26（9）：20-22.

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù) [M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.

基金項目：閩江學(xué)院2011科技啟動項目（YKQ1104）

作者簡介：林大華（1959-），男，福建福州人，閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，主要從事矩陣論的研究；戴立輝（1963-)，男，江西樂安人，閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系教授，主要從事矩陣論的研究。