克萊姆法則的幾種證明方法

摘要：本文就克萊姆法則的證明給出了幾種不同的證明方法。

關(guān)鍵詞：克萊姆法則；行列式；矩陣；線性方程組

克萊姆法則在線性方程組理論研究上具有十分重要的作用，它不僅給出系數(shù)行列式不等于零的n元線性方程組有唯一解的條件，而且還將線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項組成的行列式與解之間的關(guān)系簡潔明了的表示出來。克萊姆法則，如果線性方程組

a■x■+a■x■+…+a■x■=b■a■x■+a■x■+…+a■x■=b2 ………………a■x■+a■x■+…+a■x■=b■ （*）的系數(shù)行列式D=a■ a■ … a■a■ a■ … a■… … … …a■ a■ … a■≠0，則線性方程組（*）有唯一解xj=■（j=1，2，…，n），其中

Dj=a■ … a■ b■ a■ … a■a■ … a■ b■ a■ … a■… … … … … … … a■ … a■ b■ a■ … a■.克拉姆法則的證明可以分兩步：第一步證明解的存在性，即證明xj=■（j=1，2，…，n）是線性方程組（*）的解，第二步證明解的唯一性，即證明xj=■（j=1，2，…，n）是線性方程組（*）的唯一解。本文就解的存在性和解的唯一性分別列出了三種不同的證明方法，在這三種方法中各選一種即可證明克萊姆法則.

一、解的存在性

證法一：將Dj按第j列展開得Dj=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj（j=1，2，…，n）.ai1■+ai2■+…+ain■=■[ai1（b1A11+b2A21+…+bnAnl）=■[b1（ai1A11+ai2A12+…+ainAln）+…+bi（ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin）+ai2（b1A12+b2A22+…+bnAn2）+…+ain（b1A1n+b2A2n+…+bnAnn）]+…+bn（ai1An1+ai2An2+…+ainAnn）]=■[0+…+biD+0+…+0]=bi.這說明xj=■（j=1，2，…，n）是線性方程組（*）的解.

證法二：驗證xj=■（j=1，2，…，n）是線性方程組（*）的解，只需證明ai1■+ai2■+…+ain■=bi（i=1，2，…，n）為此，考慮有兩行相同的n+1階行列式bi a■ … a■b1 a■ … a■… … … …bn a■ … a■，顯然，它的值為零，把它按第一行展開，由于第1行aij的代數(shù)余子式為（-1）1+j+1b1 a■ … a■ a■ … a■… … … … … … … b■ an1 … a■ a■ … a■=（-1）j+2（-1）j-1Dj=-Dj，所以，0=biD-ai1D1-…-ainDn，即ai1■+…+ain■=bi（i=1，2，…，n）

證法三：將線性方程組（*）寫成矩陣形式：AX=b，因為 D=A=a■ a■ … a■a■ a■ … a■… … … …a■ a■ … a■≠0，所以x=x■x■┇x■=A-1b=■A■b=■A■ A■ … A■A■ A■ … A■… … … …A■ A■ … A■b■b■┇b■=■b1A■+b2A■+…+bnA■b1A■+b2A■+…+bnA■┆b1A■+b2A■+…+bnA■=■D■D■┇D■=■D■D■┇D■因此xj=■（j=1，2，…，n）是線性方程組（*）的解

二、解的唯一性

證法一：設(shè)x1，x2，…，xn是線性方程組（*）的解，則有a■x■+a■x■+…+a■x■=b■a■x■+a■x■+…+a■x■=b■ ………………a■x■+a■x■+…+a■x■=b■用D中第j列的元素的代數(shù)余子式A1j，A2j，…，Anj依次乘這幾個等式，再把它們相加，得（■a■A■）x■+…+（■a■A■）xj+…+（■a■A■）x■■bkAkj，即Dxj=Dj，于是xj=■，故xj=■（j=1，2，…，n）是線性方程組（*）的唯一解.

證法二：設(shè)x1，x2，…，xn是線性方程組（*）的解，按行列式的性質(zhì)，有Dxj=a■ … a■ a■xj a■ … a■a■ … a■ a■xj a■ … a■… … … … … … … a■ … a■ a■xj■ a■ … a■把上述行列式的第1列，…，第j-1列，第j+1列，…，第n列分別乘以x1，x2，…，xj-1，…，xj+1，…，xn加到第j列上，行列式的值不變，即Dxj=

a■ … a■ ■a■xj a■ … a■a■ … a■ ■a■xj a■ … a■… … … … … … … a■ … a■ ■a■xj a■ … a■=

a■ … a■ b■ a■ … a■a■ … a■ b■ a■ … a■… … … … … … … a■ … a■ b■ a■ … ann=Dj.因D≠0，故xj=■（j=1，2，…，n）是線性方程組（*）的唯一解.

證法三：D=A≠0，A的行階梯形矩陣A的秩為n，故線性方程組（*）的有唯一解.

參考文獻(xiàn)：

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基金項目：湖南省教育廳課題（09C565）

作者簡介：胡清潔（1973-），男，湖南常德人， 副教授，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究；陳玉（1973-），女，湖南常德人，講師，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。