我校碩士研究生《數值分析》課程教學改革研究與實踐

摘要：《數值分析》是工科類碩士研究生的一門重要學位課，通過學習該課程，培養學生借助計算機解決科學與工程實踐中出現的數值計算問題能力，使學生能夠比較熟練掌握課程中要求的各種常用算法的原理和構造方法，培養學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。

關鍵詞：數值分析；實踐；教學改革

《數值分析》課程是計算數學方向的核心課程，研究數學問題數值解法，內容包括數值代數、數值逼近和微分方程數值解法等內容。課程既有抽象性與嚴謹性的特征，同時，由于研究控制計算誤差，它有應用上的靈活性和廣泛性。該課程是工科院校碩士研究生的一門重要學位課程，通過學習該課程，培養學生借助計算機解決科學與工程實踐中出現的數值計算問題能力，使學生能夠比較熟練掌握課程中要求的各種常用算法的原理和構造方法，學習過程中加強學生應用所學知識提高編程能力，培養學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。因此，數值分析是一門實用性很強的數學課程。

一、我校《數值分析》課程教學中存在的問題

1.內容多、學時少的矛盾日益突出。《數值分析》課程內容較為豐富，包括了線性方程組數值解法和非線性方程數值解法等數值代數內容、插值法和函數的最佳平方逼近等數值逼近方面內容，以及常微分方程值解法與偏微分方程數值解法等微分方程求數值解等內容，在學習課程之前學生必須掌握微積分、線性代數、常微分方程和數學物理方程等本科階段相關知識，否則很難學習和深刻理解該課程教學內容。該課程在我校一直在研究生第一學期開設，課時為60學時，我們會完整講授誤差與范數、非線性方程數值解法、線性方程組數值解法、插值法、函數的最佳平方逼近、數值微分與數值積分等內容。我校是一所工科院校，微分方程數值解法很重要，加上課程內容多，學時少，所以微分方程數值解法等內容都沒時間系統講解，只能根據教學時間講一些基本的思路，學生如果本科階段數學基礎掌握不太扎實的話，學習效果就會很差。

2.沒有安排實踐教學環節。由于《數值分析》課程的一個顯著特點是面向計算機，學習的所有算法最終都要通過編程或用數學軟件在計算機上實現，學生通過系統的理論學習、編程和上機執行，才能真正理解和掌握算法，切實體會到它的實用性。然而到目前為止，《數值分析》課程沒有安排課內實踐環節，完全靠學生自己自覺課外上機，學生的動手能力訓練放松了。結果是只學習了學以致用的課程，但沒有達到學以致用的目的。

3.授課內容過于數學化。由于我校是交通類院校，在課程設置上對數學的要求較高，《數值分析》課程屬于數學類課程，理論性和抽象性都很強，但是很多學生害怕學數學。我們教師在講授過程中為了盡量保證課程的系統性、邏輯的嚴謹性和推導證明的準確性，算法推導和公式證明一絲不茍，同時出現的問題就是課程講授過于數學化。例如在講解代數插值多項式的誤差分析時，證明中巧妙的輔助函數，反復用到微積分中Rool定理，才得到誤差表達式。整個證明過程數學味特濃也特嚴謹，但要求學生學習和理解證明過程就比較困難。又比如，課程中一些計算公式比較復雜，在授課中推導很麻煩，并且表達式過于冗長，特別是三次樣條插值函數推導中的M-表達式與m-表達式，板書時就會在視覺上讓學生感到困惑。

4.沒有處理好課堂教學中多媒體與板書的關系。《數值分析》課程教學中既有公式的推導，又有大量的計算過程。在黑板上進行迭代計算實際上是紙上談兵，況且授課時間本來就十分緊張，不可能大量板書。光過分依賴多媒體課件，視覺效果固然好，信息量大，但削弱了嚴密的數學推導和計算過程，使得學生只記住了某些結果，忽略了過程。為了提高該課程教學質量，哪些章節應該以多媒體為主板書為輔，哪些章節應該以板書為主多媒體輔助教學？這個問題因人而異，我們雖然擔任了多年該課程的教學工作，而且進行了教改立項研究，至今都沒有很好地解決這個問題。綜上所述，為了提高我校理工科研究生培養質量，《數值分析》課程教學改革是一個迫切需要研究與實踐的課題。

二、數值分析課程教學的實踐與改革研究

我校六位教授和副教授一直擔任該課程的教學工作，近幾年有幾位年輕的博士、講師加入課程組。通過十幾年的教學實踐，我們也感到學習該課程比較枯燥，要提高教學質量，在教學過程注重講課的風趣性，要求授課教師知識面要廣，數學建模能力和計算機編程較強。通過認識、實踐、再認識、再實踐，我們做了以下幾個方面的工作：

1.根據我校專業特點，合理地制定課程教學大綱。通過長期教學實踐，根據我校專業特點，我們認為優化數值分析課程教學內容是教學改革的重要內容。數值分析的研究內容多，既有理論推導又有算法實踐，但對工科學生而言，他們的學習重點應放在各種數值計算方法的使用上，至于這些算法的由來可以不作為教學重點。基于此種思路，我們對教學大綱作了適當的調整，即教學中盡量做到“重概念，重應用，輕理論推導”。

2.優選教學內容，在問題處理上更加科學性。在教學過程中，我們在注意課程基本知識、基本理論、基本方法的同時，要強調通過課程學習培養學生分析問題和解決問題的能力。對一些經典問題采用新觀點、新方法處理，比如在講解追趕法時講解算法的由來，而不照搬書上的分解算法；在講解三次樣條插值時同時介紹三彎矩法和三轉角法。在課程教學中要適當介紹當今有關數值計算方法的最新理論。教師應著重介紹各類數學問題的內涵和實際背景，讓學生明確該類數學問題的研究意義。例如，土木工程類研究生的數值分析課程，我們在學生學習非線性方程的數值解法時，結合橋梁設計時靜力分析；在學習插值與逼近時，結合高速公路設計，將樣條插值方法和曲線擬合應用于設計中。授課過程中要求學生結合所學專業既要注意細節的分析，但又不能把握整體和整體上把握該課程。

3.強調和重視實踐環節。本課程是一門實踐性和應用性較強的課程，如果授課教師只講一些算法，不要求學生運用算法解決實際問題，學生的實踐能力就得不到提高。為了達到學以致用的目的，現在我們布置課外作業，要求學生根據學習內容自己課外上機，課外作業是根據我校相關專業中的實際問題，設計實驗題目，引導學生的學習興趣。在應用相關軟件（比如MATLAB）或程序中理解或體現算法的基本思想，激發了學生的創造性。另外，我們希望增加課程實踐環節，如課程設計，加強動手能力培養，提高學習效果。

數值分析課程改革是一個長期的、系統的過程，要求我們任課教師努力探索，和調動學生學習的積極性，真正達到培養學生能力的目的。我們相信，在師生的共同努力下，數值分析課程教學改革一定會成功！

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作者簡介：汪達成（1951-），男，山東泰安人，教授，重慶市第二批立項建設研究生教育優質課程《數值分析》課程負責人。