求函數(shù)極限常用方法探析

摘要：極限方法是研究變量的一種基本方法。極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。極限論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，極限問題是數(shù)學(xué)分析中困難問題之一，微分學(xué)和積分學(xué)中許多概念都是由極限的定義引入的，它是學(xué)好導(dǎo)數(shù)和積分等后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。因此，極限問題在微積分中占有很重要的地位。本文較全面地介紹了求數(shù)列與一元函數(shù)極限常用的幾種方法。

關(guān)鍵詞：極限；方法；洛必達；等價無窮小

數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)中三大基本概念——連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分無一能離開極限概念，極限概念與求極限的運算是從初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)的一個重要門檻，因此，透徹理解極限概念并能熟練運用各種求極限的方法是學(xué)好數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)。然而求極限的方法很多，又非常靈活，沒有簡單的章法可循，這就給大學(xué)新生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)帶來了較大的困惑，與此同時極限學(xué)得好壞直接關(guān)系到該課程

后續(xù)內(nèi)容（連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等）的學(xué)習(xí)，還將影響到一些相關(guān)課程的學(xué)習(xí)。因此，我們將對求極限常用的一些方法進行結(jié)歸納。

一、運用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)的極限

二、運用極限的四則運算法則求極限

這也是我們常常在不知不覺中運用的一個法則，籠統(tǒng)說來就是“和差積商的極限等于極限的和差積商”。要注意的是此方法適用的前提條件：各個極限都分別存在，且運用除法法則時還需要分母的極限不為零。

三、洛必達法則

四、運用等價無窮小替換定理

我們常用的9個等價無窮小中的x是個模子，如果把x換成任何能夠趨向于零的函數(shù)那么仍然成立，這也是此方法常用的原因。還有重要的一點是，初學(xué)的同學(xué)經(jīng)常分不清楚什么時候可以用等價無窮小替換，什么時候不能用。通俗地不嚴格地講，如果這個無窮小是求極限函數(shù)的一個因子（求極限的函數(shù)可以寫成該無窮小乘以另外一個函數(shù)，有時候該無窮小就是求極限函數(shù)的分子或分母，這正是定理中描述的情況），那么一般說來我們就可以用它的等價無窮小替換以簡化計算。

五、利用兩個重要極限求極限

以上的五大方法是我們最常用的求極限的方法，此外還有很多其他的求極限的方法。

（2）利用變量代換簡化計算。變量代換這一思想方法不但在求極限中，在其它很多問題（比如積分問題、微分問題、求解微分方程的問題等等）中都扮演了很重要的角色，用好這一技巧，常常能簡化計算，減少計算量，有時還會起到意想不到的效果。在例6中我們就應(yīng)用了這一方法來減少計算量，而且把“零乘無窮大”型的未定式轉(zhuǎn)化成了能用洛必達法則的基本類型。在例4中我們也曾應(yīng)用這一方法來減少計算量。

（3） 利用“無窮小量乘以有界變量仍然是無窮小量”來求極限。無窮小量的這一性質(zhì)容易被我們忽略。我們在上面例1中就應(yīng)用了這一性質(zhì)。

（4）利用夾逼準(zhǔn)則求極限。這種方法技巧性較強，我們常在求數(shù)列極限時考慮此類方法，而且該數(shù)列的通項是由很多有規(guī)律的項組成的情況。比如我們通常用夾逼準(zhǔn)則來求■n■+■+…+■。

除此之外，還有利用單調(diào)有界準(zhǔn)則、運用極限的定義、泰勒展開式、定積分的定義、中值定理、冪級數(shù)的和函數(shù)、收斂級數(shù)的性質(zhì)等等許多方法求極限。在學(xué)習(xí)極限的過程中，勤思考、多總結(jié)，才可以熟能生巧，將各種方法融會貫通、靈活運用。

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