（a+b—c）/2與ab/a+b+c相等嗎

數學這門學科真奇妙，今天在解決一道有關內切圓的問題時發現同一個問題用兩種不同的方法得出的結果不是同一個代數式，當時就想，這兩個代數式是否相等呢？經過思考證明發現果然相等。

下面先看這個問題的兩種不同解法。

例：在Rt△ABC中，∠C=90°，內切圓I和邊BC、CA、AB分別切于點D、E、F，若AB=10，AC=8，試求內切圓的半徑。

解法一：連結ID、IE、IF

■

∵⊙I與AC、BC切于點E、D ∴IE⊥AC，ID⊥BC，IF⊥AB

∵∠C=90°，IE=ID ∴四邊形IECD為正方形。

由勾股定理得AC=■=■=6

連結AI，設正方形IECD的半徑為r，由EI=FI，AI=AI

∵Rt△AEI≌Rt△AFI ∴AE=AF=6-r

同理BD=BF=8-r

∵AF+BF=AB ∴6-r+8-r=10 ∴r=■=2

解法二：連結AI、BI、CI，設半徑為r，由等面積法可知，

■AC·IE+■BC·DI+■AB·IF=■AC·BD

■（6+8+10）r=■×6×8=2

Rt△ABC的三邊為a，b，c（c為斜邊），由解法一可知，r=■，由解法二得r=■，那么■與■相等嗎？

證明：∵（a+b+c）（a+b-c）=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2

而Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2即a2+b2-c2=0

將a2+b2-c2=0代入上式得（a+b+c）（a+b-c）=2ab

∴■=■

由此得出結論，Rt△ABC中，若a，b為直角邊，c為斜邊，則內切圓半徑r=■或■。

（作者單位 寧夏回族自治區銀川市第二十五中學）