淺談逆向思維在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要 高等數(shù)學(xué)是一門專業(yè)性強(qiáng)、理論性強(qiáng)、對(duì)實(shí)際運(yùn)用能力高的學(xué)科。逆向思維是與順向思維相對(duì)立的概念，它在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與應(yīng)用中都占據(jù)著很重要的作用，若能合理運(yùn)用逆向思維，不僅能開發(fā)學(xué)生的思維能力同時(shí)也能開拓學(xué)生的思維空間。那么如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用逆向思維思考問題？學(xué)會(huì)自主利用逆向思維解決問題？下面筆者就結(jié)合自己對(duì)逆向思維的認(rèn)識(shí)對(duì)此作簡(jiǎn)要分析。

關(guān)鍵詞 逆向思維 重要性 高等數(shù)學(xué) 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1 逆向思維的特點(diǎn)

逆向思維強(qiáng)調(diào)思維主題或人類能夠從已有思路的反方向進(jìn)行問題的思索和探究，從反方向找尋更適合解決問題的方案。逆向思維的運(yùn)用不僅是一種快速解決方案的認(rèn)可，同時(shí)也有利于人類克服常有的思維定式，開拓自己的視野，解放自己的思想。

逆向思維在高等數(shù)學(xué)上的運(yùn)用主要是逆推法，即思維主體能夠從待證的結(jié)論出發(fā)，一步步向問題分析遞推，最終得到題目問題提出的具體思路的一種解題方法。這種逆推法主要應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)證明題的證明中，它可以幫助思維主體從一堆看似錯(cuò)綜復(fù)雜、毫無關(guān)聯(lián)的已知條件中通過問題推已知結(jié)論的方式準(zhǔn)確的找到問題的關(guān)鍵突破口。

2 高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用逆向思維的重要性

無論是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)還是學(xué)習(xí)，只有掌握逆向思維的解題方法才能夠讓教師更好的實(shí)施教學(xué)，才能夠讓學(xué)生更好的攻克各種數(shù)學(xué)難題。與順向思維相對(duì)的，逆向思維本身就是一種特殊的思維方式，這種不同于常規(guī)的思維方式是以高數(shù)中的數(shù)字和圖形為基本分析對(duì)象，運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)符號(hào)和語言，通過反向的數(shù)學(xué)判斷和數(shù)學(xué)推理來揭示題目之中各數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，著名希臘數(shù)學(xué)家就是利用反證法發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，從而讓人們將對(duì)數(shù)的任何從有理數(shù)擴(kuò)大到了無理數(shù)。而俄國(guó)數(shù)學(xué)家也是在看到前人利用直接證明歐幾里得第五公設(shè)的失敗中吸取教訓(xùn)，大膽采用與第五公設(shè)完全相反的命題間接證出了第五公設(shè)，從而創(chuàng)造出了羅巴切夫斯基幾何。可見熟練掌握逆向思維能夠讓看似無法解決的問題得以解決。

3 逆向思維在高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中的應(yīng)用

“羅馬不是一天建成的”，同樣的，要想將逆向思維熟練的運(yùn)用到高數(shù)解題中，還要需要踏踏實(shí)實(shí)，先將逆向思維在高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中的應(yīng)用基礎(chǔ)打好。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，基礎(chǔ)知識(shí)主要包括：公式，定理和和定義。在教授這些簡(jiǎn)單高數(shù)知識(shí)的過程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)逆向思維的運(yùn)用意識(shí)，同時(shí)還要讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到這些基本定義、公式和定理也存在著可逆性。例如積分、定積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等都可進(jìn)行逆向運(yùn)用。但是目前很多學(xué)生在解題時(shí)往往只會(huì)從正面考慮如何運(yùn)用這些定理、公式，而對(duì)逆向運(yùn)用的巨大作用視而不見。針對(duì)這種考慮不全面的現(xiàn)象，教師在教師時(shí)要能夠有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，通過針對(duì)性訓(xùn)練幫助學(xué)生在掌握基本定義、公式和定理的同時(shí)也能夠了解這些基礎(chǔ)知識(shí)的可逆性，從而更好的掌握高等數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容。雖然高等數(shù)學(xué)的公式都是雙向的，但是由于定向思維，很多人在運(yùn)用公式時(shí)只習(xí)慣從左到右的公式表達(dá)方式，對(duì)逆向公式，尤其是逆向公式的變形很不習(xí)慣，但是這些逆向公式在解題中反而能發(fā)揮意想不到的作用，因此在高等數(shù)學(xué)中若能夠熟練記憶并運(yùn)用這類公式對(duì)解題思路和減少解題運(yùn)算量上都有很大幫助。

高等數(shù)學(xué)中的定理有的可逆有的不可逆，高等數(shù)學(xué)教材中只給出了一部分定理的逆定理，很大以部分定理都沒有給出其逆向性分析。這一點(diǎn)教師在教學(xué)中要能夠意識(shí)并能夠有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生考慮這些為給出逆定理的定理是否具有逆命題。例如“收斂數(shù)列必有界”的逆命題“有界數(shù)列一定收斂”這個(gè)命題就是假的。為何是假的？怎么判別？這些問題都可以提出來，讓學(xué)生自行思考，從而幫助學(xué)生擴(kuò)展自己的高數(shù)思維，提高學(xué)生的逆向思維能力。例如在判定多項(xiàng)式乘法滿足消去律時(shí)，順向思維是兩個(gè)多項(xiàng)式只要有一個(gè)為零，則他們的積為零，逆向來看，則是兩個(gè)多項(xiàng)式的積為零，則兩個(gè)多項(xiàng)式中至少有一個(gè)零，從而輕易得出多項(xiàng)式乘法滿足消去律這一結(jié)論。

4 注重高等數(shù)學(xué)中知識(shí)體系和思想方法之間的互逆關(guān)系

熟悉了逆向思維在高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單知識(shí)中的運(yùn)用之后還要注重知識(shí)體系與思想方法之間的聯(lián)系，并以此作為日常教學(xué)和學(xué)習(xí)的基本準(zhǔn)則。以微積分學(xué)為例，它的研究對(duì)象是函數(shù)，研究工具是極限，研究?jī)?nèi)容是微分學(xué)和積分學(xué)，若能夠在教學(xué)和學(xué)習(xí)中注重各部分知識(shí)的聯(lián)系統(tǒng)一，注重該部分整體知識(shí)體系與思想方法之間的聯(lián)系，肯定能給日常教學(xué)與學(xué)習(xí)帶來意想不到的驚喜。例如在本段知識(shí)的學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)和積分就具有明顯的互逆關(guān)系，且對(duì)這兩者的學(xué)習(xí)時(shí)微積分學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的主體。從兩者的計(jì)算來看，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與求定積分本來就是一對(duì)逆運(yùn)算。例如在一元函數(shù)計(jì)算中，由導(dǎo)數(shù)導(dǎo)出逆運(yùn)算即可求得原函數(shù)及其不定積分。而可積函數(shù)的原函數(shù)與函數(shù)積分之間也可利用牛頓—萊布尼茨公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可見導(dǎo)數(shù)與積分在題目計(jì)算中的運(yùn)用本身就具有互逆性和相對(duì)統(tǒng)一性。同樣的，在微積分中求解曲線長(zhǎng)度時(shí)就是先將曲線化作無數(shù)個(gè)小線段，再將每個(gè)小線段等效為直線，通過部分“以直代曲”的方法得到每個(gè)小線段的長(zhǎng)度，再通過微積分的方法將每個(gè)小線段進(jìn)行相加，相加之后又在整體上“積直為曲”，從而實(shí)現(xiàn)曲線長(zhǎng)度的求解。這種化整體為局部，再由局部相加得整體的求解方法在高數(shù)求解中隨處可見。而這種方法的利用也是逆向思維在局部轉(zhuǎn)換和整體計(jì)算中的應(yīng)用實(shí)踐。微積分學(xué)解題的主要知識(shí)就是極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分定義、級(jí)數(shù)、廣義積分?jǐn)可⑿裕@些知識(shí)的定義都是建立在極限的基礎(chǔ)上。可以說極限運(yùn)算就是高數(shù)微積分運(yùn)算中的核心思想，其涵括的理念就是講無限的問題轉(zhuǎn)化為有限，再用有限的思想實(shí)現(xiàn)對(duì)無限的論證，由此可見無限和有限之間的辯證關(guān)系。

5 結(jié)語

高等數(shù)學(xué)是一門難度較大的學(xué)科，無論是教學(xué)還是學(xué)習(xí)上都有一定難度，因此教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)要積極、及時(shí)的更新教育理念和觀念，同時(shí)要能夠充分認(rèn)識(shí)到逆向思維在高等數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中的重要性，能夠在教學(xué)過程中有意識(shí)的培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和逆向思維能力，從而讓學(xué)生能夠熟練掌握高數(shù)知識(shí)，為日后的專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)奠定下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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