建構(gòu)主義觀點(diǎn)下的圓錐曲線教學(xué)

摘 要 本文從傳統(tǒng)的圓錐曲線教學(xué)方法出發(fā)，利用數(shù)形結(jié)合，采用幾何畫板（GSP）這一工具，對圓錐曲線的教學(xué)進(jìn)行了新的設(shè)計(jì)，提出了以離心率為核心的圓錐曲線的教學(xué)設(shè)計(jì)。既解決了三種圓錐曲線相互關(guān)系的問題，又充分發(fā)揮了計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢，使教學(xué)更科學(xué)、形象、生動。提高了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)能力；同時(shí)還對圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)給出了一些建議。

關(guān)鍵詞 圓錐曲線 幾何畫板 數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的內(nèi)容，在生產(chǎn)實(shí)踐中也有廣泛的應(yīng)用，學(xué)好圓錐曲線是十分必要的。傳統(tǒng)教學(xué)研究橢圓、雙曲線、拋物線，對每種曲線都分別按定義、方程、幾何性質(zhì)等方面來討論；另外，傳統(tǒng)教學(xué)中教師的教學(xué)手段單一，雖能使學(xué)生容易接受，但知識繁雜，重復(fù)過多，更重要的是它不利于學(xué)生知識的建構(gòu)；同時(shí)削弱了幾種圓錐曲線之間的聯(lián)系。采用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，用GSP教件平臺可使這一現(xiàn)象得以解決。

1 理論基礎(chǔ)

建構(gòu)主義理論指出學(xué)生學(xué)習(xí)知識不是被動地接受過程，而是學(xué)生根據(jù)已有知識在一定的情境中主動建構(gòu)的過程。依據(jù)建構(gòu)主義理論，學(xué)生獲得知識的方法不是教師灌輸?shù)模峭ㄟ^自身發(fā)現(xiàn)的。教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境，對學(xué)生的知識建構(gòu)起幫助、促進(jìn)和指導(dǎo)的作用。當(dāng)然這當(dāng)中情境是必不可少的外部條件，沒有教學(xué)情境，學(xué)生的意義建構(gòu)就無從談起，這就使我們想到在圓錐曲線的教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)一種教學(xué)情境，使學(xué)生在這一情況中能順利地、自覺地對知識進(jìn)行有意義的建構(gòu)，進(jìn)行發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，發(fā)展能力。

2 教學(xué)方案

圓錐曲線所涉及的內(nèi)容龐雜，新定義比較多、且對于初學(xué)者難于理解。在這里筆者提出一種關(guān)于圓錐曲線教學(xué)的方案，采用GSP為輔助工具，利用數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生對知識的建構(gòu)。具體方案如下：

2.1 橢圓的構(gòu)建

由于圓是橢圓的一種特例，由課程的銜接上考慮，先講橢圓。按照新教材的順序，先講橢圓的定義，在給出定義的同時(shí)，給出橢圓的焦點(diǎn)、焦距的定義。由橢圓的定義導(dǎo)出橢圓的方程（其過程中要建立平面直角坐標(biāo)系，取兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的直線為軸）。關(guān)于橢圓的定義，我們可以用幾何畫板根據(jù)定義作圖（如圖1，其中F、G分別是焦點(diǎn)）：

這種做橢圓的方法可由教師演示，也可讓學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)（教師指導(dǎo)）。

2.2 雙曲線的構(gòu)建

在演示這種做法后，在圖1中，將點(diǎn)F遠(yuǎn)離點(diǎn)G使兩圓相離，我們會看到圖2：

通過觀察，學(xué)生們會驚訝地發(fā)現(xiàn)|LF-LG|的值始終為定值，這種圖形是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對值等于定值的點(diǎn)的軌跡，這兩個(gè)定點(diǎn)就是雙曲線的焦點(diǎn)。由橢圓求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，來求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（同樣建立平面直角坐標(biāo)系）。

2.3 離心率第二定義的引出

了解了橢圓與雙曲線的方程與圖像之后，再來了解他們的一些幾何性質(zhì)（其中包括的取值范圍，對稱性，頂點(diǎn)，離心率，準(zhǔn)線方程，還有雙曲線特有的漸近線），對于取值范圍、對稱性、頂點(diǎn)都可以由圖像直接觀察到，也可以用代數(shù)的方法，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程得到以上的結(jié)論。離心率是焦距與長軸長（實(shí)軸長）的比 = 。這時(shí)演示圖3：

用計(jì)算器計(jì)算圖中兩個(gè)比值，在幾何畫板中拖動A，觀察兩個(gè)比值，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)兩個(gè)比值始終相等，并且H點(diǎn)所在的位置不變。以MC中點(diǎn)為原點(diǎn)，MC所在直線為 軸建立平面直角坐標(biāo)系（可以求出OH所在的直線方程為 = - ），離心率又可定義為到焦點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比（第二定義）。

2.4 離心率與圓錐曲線

根據(jù)離心率的第二定義，我們做出一個(gè)圖形（圖4所示），拖動E在射線CD上移動，改變的大小，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖像變化與數(shù)量間的關(guān)系，學(xué)生通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)：當(dāng)0<<1時(shí)，圖形是橢圓（如圖4）；當(dāng)>1時(shí)，圖形是雙曲線，圖略。當(dāng) =1時(shí)，圖形是為異于橢圓與雙曲線的另一種曲線，這種曲線就是拋物線，圖略。

有了前面橢圓、雙曲線的學(xué)習(xí)，很容易總結(jié)出拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及它的一些簡單的幾何性質(zhì)。到此三種基本的圓錐曲線都由離心率統(tǒng)一到一個(gè)圖像上了。在教學(xué)過程中，一般學(xué)生對離心率的理解僅限于定義，并沒有真正理解離心率在圓錐曲線中的作用；由于圖四的離心率可以隨意改動，可以動態(tài)地演示，觀察的連續(xù)變化圖像的變化，進(jìn)行數(shù)據(jù)的比較，使原本難以理解的概念，容易理解。

3 總結(jié)

在傳統(tǒng)教學(xué)中，做若干個(gè)圖像，進(jìn)行比較，費(fèi)時(shí)且不容易實(shí)現(xiàn)。由于幾何畫板的易操作性，此種教學(xué)方案學(xué)生可以在教師的指導(dǎo)下自己操作幾何畫板，在“做中學(xué)”，學(xué)生很容易對這三種曲線有一個(gè)統(tǒng)一的認(rèn)識，既鍛煉了學(xué)生的動手能力也符合認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律。

圓錐曲線的離心率這條主線貫穿始終避免了這部分知識凌亂、重復(fù)過多的弊端。這種設(shè)計(jì)方案可以在學(xué)生學(xué)完圓錐曲線之后，給予總體的概括。也可以在學(xué)有余力的學(xué)生中嘗試這種探究式的教學(xué)方案，利用GSP作圖探究是很容易發(fā)現(xiàn)問題促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)新的知識體系的。

此種教學(xué)過程既保留了傳統(tǒng)教學(xué)的一些過程，還兼顧了教師的主導(dǎo)地位、學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，使學(xué)生不只是知識的被動接受者，還是知識的主動參與建構(gòu)者。